Objectif : reconnaître rapidement deux vecteurs colinéaires et utiliser ce critère pour démontrer l’alignement de trois points.
1
Reconnaître deux vecteurs colinéaires
On donne \(\vec u=(2;-3;4)\) et \(\vec v=(-1;\frac32;-2)\).
Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont-ils colinéaires ? Justifier.
Correction
On remarque que
\[
\vec v=-\frac12\vec u.
\]
Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont donc colinéaires.
2
Détecter des vecteurs non colinéaires
On donne \(\vec u=(3;2;-1)\) et \(\vec v=(6;4;-3)\).
Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont-ils colinéaires ? Justifier sans chercher longtemps un coefficient.
Correction
Les deux premières coordonnées pourraient faire penser à \(\vec v=2\vec u\), car \(6=2\times3\) et \(4=2\times2\). Mais il faudrait alors avoir \(-3=2\times(-1)=-2\), ce qui est faux.
Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires.
3
Montrer que trois points sont alignés
On donne \(A(1;2;-1)\), \(B(3;1;2)\) et \(C(7;-1;8)\).
Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont-ils alignés ?
Correction
\[
\overrightarrow{AB}=(2;-1;3)
\]
et
\[
\overrightarrow{AC}=(6;-3;9)=3\overrightarrow{AB}.
\]
Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires ; les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont donc alignés.
4
Trouver une coordonnée pour obtenir l’alignement
On donne \(A(0;1;2)\), \(B(2;3;1)\) et \(C(6;7;z)\).
Déterminer la valeur de \(z\) pour que les points \(A\), \(B\) et \(C\) soient alignés.
Correction
\[
\overrightarrow{AB}=(2;2;-1),\qquad
\overrightarrow{AC}=(6;6;z-2).
\]
Les deux premières coordonnées donnent
\[
\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}.
\]
Il faut donc
\[
z-2=3\times(-1)=-3,
\]
d’où
\[
z=-1.
\]
Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés pour \(z=-1\).
Le réflexe à retenir
Pour montrer que trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés, calcule deux vecteurs de même origine, par exemple \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis montre qu’ils sont colinéaires.