Objectif : reconnaître une combinaison linéaire de vecteurs et l’utiliser pour décider si quatre points sont coplanaires.
1
Reconnaître une combinaison linéaire
On donne
\[
\vec u=(1;2;-1),\qquad \vec v=(2;-1;1),\qquad \vec w=(5;0;1).
\]
Exprimer \(\vec w\) en fonction de \(\vec u\) et \(\vec v\).
Que peut-on en déduire sur les vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) ?
Correction
On calcule :
\[
\vec u+2\vec v=(1;2;-1)+2(2;-1;1)=(5;0;1)=\vec w.
\]
Ainsi,
\[
\vec w=\vec u+2\vec v.
\]
Le vecteur \(\vec w\) est une combinaison linéaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) : les trois vecteurs sont coplanaires.
2
Quatre points coplanaires ?
On donne
\[
A(0;1;2),\quad B(1;3;1),\quad C(2;0;3),\quad D(5;1;3).
\]
Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
Montrer que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont coplanaires.
Correction
\[
\overrightarrow{AB}=(1;2;-1),\qquad
\overrightarrow{AC}=(2;-1;1),\qquad
\overrightarrow{AD}=(5;0;1).
\]
Or
\[
\overrightarrow{AD}
=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}.
\]
Donc \(\overrightarrow{AD}\) est une combinaison linéaire de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont coplanaires.
3
Déterminer deux coefficients
On donne
\[
\vec u=(1;0;2),\qquad
\vec v=(0;2;-1),\qquad
\vec w=(3;4;4).
\]
Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \(\vec w=a\vec u+b\vec v\).
Correction
L’égalité
\[
(3;4;4)=a(1;0;2)+b(0;2;-1)
\]
donne
\[
(a;2b;2a-b)=(3;4;4).
\]
Les deux premières coordonnées donnent
\[
a=3,\qquad b=2.
\]
On vérifie la troisième :
\[
2a-b=6-2=4.
\]
Ainsi \(a=3\), \(b=2\) et \(\vec w=3\vec u+2\vec v\).
4
Trouver une coordonnée pour obtenir la coplanarité
On donne
\[
A(0;0;0),\quad B(1;0;1),\quad C(0;2;1),\quad D(3;4;k).
\]
Déterminer la valeur de \(k\) pour que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) soient coplanaires.
Correction
Comme \(A\) est l’origine,
\[
\overrightarrow{AB}=(1;0;1),\quad
\overrightarrow{AC}=(0;2;1),\quad
\overrightarrow{AD}=(3;4;k).
\]
On cherche \(a\) et \(b\) tels que
\[
\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}.
\]
Les deux premières coordonnées donnent
\[
a=3,\qquad 2b=4\Rightarrow b=2.
\]
La troisième coordonnée doit donc vérifier
\[
k=a+b=3+2=5.
\]
Les quatre points sont coplanaires pour \(k=5\).
Le réflexe à retenir
Pour montrer que quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont coplanaires, on peut chercher deux réels \(a\) et \(b\) tels que
\[
\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}.
\]
Autrement dit : un des trois vecteurs doit pouvoir s’écrire comme combinaison linéaire des deux autres.