Série 4 — Droites et représentations paramétriques
Objectif : passer rapidement d’un point et d’un vecteur directeur à une représentation paramétrique, puis savoir l’exploiter.
1
Lire un vecteur directeur
On considère la droite \((d)\) définie par
\[
\begin{cases}
x=2-3t\\
y=-1+4t\\
z=5+2t
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb R.
\]
Donner un vecteur directeur de \((d)\).
Donner les coordonnées d’un point de \((d)\).
Correction
Les coefficients du paramètre \(t\) donnent un vecteur directeur :
\[
\vec u=(-3;4;2).
\]
En prenant \(t=0\), on obtient le point
\[
A(2;-1;5).
\]
Un vecteur directeur est \(\vec u=(-3;4;2)\) et \(A(2;-1;5)\) appartient à \((d)\).
2
Construire une représentation paramétrique
La droite \((d)\) passe par \(A(1;-2;3)\) et admet pour vecteur directeur
\[
\vec u=(2;1;-4).
\]
Donner une représentation paramétrique de \((d)\).
Correction
Pour tout point \(M(x;y;z)\) de \((d)\),
\[
\overrightarrow{AM}=t\vec u.
\]
On obtient donc
\[
\begin{cases}
x=1+2t\\
y=-2+t\\
z=3-4t
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb R.
\]
Cette écriture est une représentation paramétrique de la droite \((d)\).
3
Droite passant par deux points
On donne \(A(2;-1;4)\) et \(B(-1;3;2)\).
Déterminer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
En déduire une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
Correction
\[
\overrightarrow{AB}=(-1-2\,;\,3-(-1)\,;\,2-4)=(-3;4;-2).
\]
En utilisant le point \(A\) et le vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}\),
\[
\begin{cases}
x=2-3t\\
y=-1+4t\\
z=4-2t
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb R.
\]
La droite \((AB)\) admet donc cette représentation paramétrique.
4
Un point appartient-il à la droite ?
On considère
\[
(d):
\begin{cases}
x=1+2t\\
y=3-t\\
z=-2+3t
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb R.
\]
On donne \(P(5;1;4)\) et \(Q(3;2;2)\).
Le point \(P\) appartient-il à \((d)\) ?
Le point \(Q\) appartient-il à \((d)\) ?
Correction
Pour \(P\), l’équation \(5=1+2t\) donne \(t=2\). On vérifie :
\[
3-2=1,\qquad -2+3\times2=4.
\]
Les trois coordonnées correspondent au même paramètre \(t=2\). Donc \(P\in(d)\).
Pour \(Q\), l’équation \(3=1+2t\) donne \(t=1\). Alors
\[
y=3-1=2,
\]
mais
\[
z=-2+3\times1=1\neq2.
\]
Ainsi \(P\in(d)\), mais \(Q\notin(d)\).
Le réflexe à retenir
Une droite de l’espace est déterminée par un point et un vecteur directeur. Si elle passe par \(A(x_A;y_A;z_A)\) et possède pour vecteur directeur \(\vec u=(a;b;c)\), alors une représentation paramétrique est
\[
\begin{cases}
x=x_A+at\\
y=y_A+bt\\
z=z_A+ct
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb R.
\]
Pour tester l’appartenance d’un point, la même valeur du paramètre doit convenir aux trois coordonnées.