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Questions Flash

Série 5 — Position relative de deux droites dans l’espace

Objectif : distinguer rapidement droites parallèles, confondues, sécantes et non coplanaires à partir de leurs représentations paramétriques.
1

Comparer les vecteurs directeurs

On considère \[ (d): \begin{cases} x=1+2t\\ y=-1+4t\\ z=3-2t \end{cases} \qquad (d'): \begin{cases} x=4-s\\ y=2-2s\\ z=-1+s \end{cases}. \]
  1. Donner un vecteur directeur de chacune des deux droites.
  2. Que peut-on déjà dire sur leur position relative ?

Correction

On peut choisir \[ \vec u=(2;4;-2),\qquad \vec v=(-1;-2;1). \] Or \[ \vec u=-2\vec v. \] Les vecteurs directeurs sont donc colinéaires.
Les droites sont soit parallèles distinctes, soit confondues. Il faut encore tester si un point de l’une appartient à l’autre.
2

Parallèles ou confondues ?

On considère \[ (d): \begin{cases} x=1+t\\ y=2-t\\ z=3+2t \end{cases} \qquad (d'): \begin{cases} x=3+2s\\ y=-2s\\ z=7+4s \end{cases}. \]
  1. Montrer que les deux droites ont des vecteurs directeurs colinéaires.
  2. Préciser leur position relative.

Correction

Des vecteurs directeurs sont \[ \vec u=(1;-1;2),\qquad \vec v=(2;-2;4)=2\vec u. \] Les droites sont donc parallèles ou confondues. Le point \(B(3;0;7)\) de \((d')\) appartient à \((d)\) : dans \((d)\), \(x=3\) donne \(t=2\), et \[ y=2-2=0,\qquad z=3+2\times2=7. \]
Les droites \((d)\) et \((d')\) sont confondues.
3

Deux droites sécantes

On considère \[ (d): \begin{cases} x=1+2t\\ y=t\\ z=1-t \end{cases} \qquad (d'): \begin{cases} x=-1+s\\ y=2-2s\\ z=3+s \end{cases}. \]
  1. Montrer que les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
  2. Déterminer si les deux droites sont sécantes.

Correction

Des vecteurs directeurs sont \[ \vec u=(2;1;-1),\qquad \vec v=(1;-2;1). \] Ils ne sont pas colinéaires. Cherchons un point commun : \[ \begin{cases} 1+2t=-1+s\\ t=2-2s\\ 1-t=3+s \end{cases}. \] La résolution donne \[ s=\frac65,\qquad t=-\frac25. \] Le point commun est alors \[ P\left(\frac15;\,-\frac25;\,\frac75\right). \]
Les deux droites sont sécantes en \(P\left(\frac15;-\frac25;\frac75\right)\).
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Le piège de l’espace : droites non coplanaires

On considère \[ (d): \begin{cases} x=1+2t\\ y=-1+t\\ z=3-t \end{cases} \qquad (d'): \begin{cases} x=3-s\\ y=1+2s\\ z=1+s \end{cases}. \]
  1. Montrer que les vecteurs directeurs des deux droites ne sont pas colinéaires.
  2. Rechercher un éventuel point d’intersection.
  3. Conclure sur la position relative des deux droites.

Correction

Des vecteurs directeurs sont \[ \vec u=(2;1;-1),\qquad \vec v=(-1;2;1). \] Ils ne sont pas colinéaires : par exemple, \[ 2\times2=4\neq -1=1\times(-1). \] Pour un éventuel point commun : \[ \begin{cases} 1+2t=3-s\\ -1+t=1+2s\\ 3-t=1+s \end{cases}. \] Les deuxième et troisième équations donnent \[ t=2+2s\qquad\text{et}\qquad t=2-s, \] donc \(s=0\) et \(t=2\). Mais la première équation donnerait alors \[ 1+2\times2=5\neq3. \] Le système n’a donc aucune solution.
Les droites ne sont ni parallèles ni sécantes : elles sont non coplanaires.

Le réflexe à retenir

1. Comparer d’abord les vecteurs directeurs. S’ils sont colinéaires, les droites sont parallèles ou confondues.

2. S’ils ne sont pas colinéaires, chercher un point commun en résolvant le système.

3. Une solution : droites sécantes. Aucune solution : droites non coplanaires.

Attention : dans l’espace, deux droites non parallèles ne sont pas forcément sécantes.