Objectif : mobiliser rapidement les principaux réflexes du chapitre :
reconnaître une loi binomiale, calculer une probabilité ponctuelle, utiliser le complémentaire et déterminer une probabilité sur un intervalle.
1Reconnaître les paramètres
Une expérience de Bernoulli de probabilité de succès \(0{,}35\) est répétée \(12\) fois de manière indépendante.
On note \(X\) le nombre de succès obtenus.
Donner la loi de \(X\), son espérance et sa variance.
2Exactement
On suppose :
\[ X\sim\mathcal B(10,0{,}3). \]Calculer \(P(X=4)\), arrondi au millième.
3Au moins un
On suppose :
\[ Y\sim\mathcal B(20,0{,}2). \]Calculer la probabilité d'obtenir au moins un succès, arrondie au millième.
4Réflexe Bac
On suppose :
\[ Z\sim\mathcal B(15,0{,}4). \]Calculer \(P(4\leq Z\leq7)\), arrondi au millième.
On pourra utiliser des probabilités cumulées.
Afficher la correction
1. Le nombre de répétitions est \(n=12\) et la probabilité de succès est \(p=0{,}35\). Ainsi :
\[
X\sim\mathcal B(12,0{,}35).
\]
Son espérance vaut :
\[
E(X)=np=12\times0{,}35=4{,}2.
\]
Sa variance vaut :
\[
V(X)=np(1-p)=12\times0{,}35\times0{,}65=2{,}73.
\]
Donc :
\[
\boxed{E(X)=4{,}2\quad\text{et}\quad V(X)=2{,}73}.
\]
2.
\[
P(X=4)=\binom{10}{4}(0{,}3)^4(0{,}7)^6.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(X=4)\approx 0{,}200}.
\]
3. « Au moins un succès » correspond à \(Y\geq1\). Le plus rapide est d'utiliser l'événement contraire :
\[
P(Y\geq1)=1-P(Y=0).
\]
Donc :
\[
P(Y\geq1)=1-(0{,}8)^{20}
\]
et :
\[
\boxed{P(Y\geq1)\approx 0{,}988}.
\]
4. On peut écrire :
\[
P(4\leq Z\leq7)=P(Z\leq7)-P(Z\leq3).
\]
Avec \(Z\sim\mathcal B(15,0{,}4)\), on obtient :
\[
\boxed{P(4\leq Z\leq7)\approx 0{,}696}.
\]