Objectif : savoir lire, compléter et exploiter rapidement une loi de probabilité.
1Somme des probabilités
Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(0\), \(1\) et \(2\) avec :
\[ P(X=0)=0{,}2,\qquad P(X=1)=0{,}5. \]Déterminer \(P(X=2)\).
2Loi de probabilité valide ?
Peut-on avoir la loi suivante ? Justifier.
| \(x_i\) | \(-1\) | \(0\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(0{,}25\) | \(0{,}40\) | \(0{,}45\) |
3Calculer un événement
| \(x_i\) | \(-3\) | \(1\) | \(5\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\frac14\) | \(\frac12\) | \(\frac14\) |
Calculer \(P(X>0)\).
4Probabilité d'un intervalle
Une variable aléatoire \(Y\) a pour loi :
| \(y_i\) | \(-2\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(Y=y_i)\) | \(0{,}1\) | \(0{,}3\) | \(0{,}4\) | \(0{,}2\) |
Calculer \(P(0\leq Y\leq2)\).
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1. La somme des probabilités vaut \(1\). Donc :
\[
P(X=2)=1-0{,}2-0{,}5=0{,}3.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(X=2)=0{,}3}.
\]
2. Non. En effet :
\[
0{,}25+0{,}40+0{,}45=1{,}10.
\]
Or la somme des probabilités d'une loi doit être égale à \(1\).
Donc cette loi est impossible.
3. Les valeurs strictement positives de \(X\) sont \(1\) et \(5\). Donc :
\[
P(X>0)=P(X=1)+P(X=5).
\]
Ainsi :
\[
P(X>0)=\frac12+\frac14=\frac34.
\]
Donc :
\[
\boxed{P(X>0)=\frac34}.
\]
4. Les valeurs de \(Y\) comprises entre \(0\) et \(2\), bornes incluses, sont \(0\) et \(2\). Donc :
\[
P(0\leq Y\leq2)=P(Y=0)+P(Y=2).
\]
Ainsi :
\[
P(0\leq Y\leq2)=0{,}3+0{,}4=0{,}7.
\]
Donc :
\[
\boxed{P(0\leq Y\leq2)=0{,}7}.
\]