Objectif : automatiser les calculs et l'interprétation de \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
1Calculer une espérance
La loi de \(X\) est donnée par :
| \(x_i\) | \(0\) | \(2\) | \(5\) |
|---|---|---|---|
| \(p_i\) | \(0{,}4\) | \(0{,}3\) | \(0{,}3\) |
Calculer \(E(X)\).
2Calculer une variance
Une variable aléatoire \(Y\) prend les valeurs \(-1\) et \(1\) avec :
\[ P(Y=-1)=0{,}25 \qquad\text{et}\qquad P(Y=1)=0{,}75. \]Calculer \(E(Y)\), puis \(V(Y)\).
3Écart-type
On sait que :
\[ V(Z)=6{,}25. \]Calculer \(\sigma(Z)\).
4Interpréter une espérance
Dans un jeu, \(G\) désigne le gain algébrique, en euros, d'un joueur et :
\[ E(G)=-0{,}80. \]Interpréter cette valeur.
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1.
\[
E(X)=\sum p_ix_i.
\]
Donc :
\[
E(X)=0{,}4\times0+0{,}3\times2+0{,}3\times5
=0+0{,}6+1{,}5.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{E(X)=2{,}1}.
\]
2.
\[
E(Y)=0{,}25\times(-1)+0{,}75\times1=0{,}5.
\]
De plus :
\[
E(Y^2)=0{,}25\times1+0{,}75\times1=1.
\]
Donc :
\[
V(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2
=1-(0{,}5)^2
=0{,}75.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{E(Y)=0{,}5}
\qquad\text{et}\qquad
\boxed{V(Y)=0{,}75}.
\]
3.
\[
\sigma(Z)=\sqrt{V(Z)}
=\sqrt{6{,}25}
=2{,}5.
\]
Donc :
\[
\boxed{\sigma(Z)=2{,}5}.
\]
4. Comme
\[
E(G)=-0{,}80,
\]
sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne environ
\[
\boxed{0{,}80\text{ € par partie}}.
\]
Le jeu est donc défavorable au joueur en moyenne.