Objectif : reconnaître une épreuve de Bernoulli, identifier son paramètre \(p\) et utiliser les propriétés de la loi de Bernoulli.
1Succès et échec
On lance un dé équilibré. On appelle succès l'événement :
\[ S:\text{ « obtenir un multiple de 3 »}. \]Donner \(P(S)\) et \(P(\overline S)\).
2Loi de Bernoulli
Une variable aléatoire \(X\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(0{,}7\).
Donner \(P(X=1)\) et \(P(X=0)\).
3Espérance et variance
On suppose :
\[ X\sim\mathcal B(0{,}4). \]Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
4Reconnaître une épreuve de Bernoulli
On tire une carte d'un jeu de \(52\) cartes et on note si elle est un cœur ou non.
S'agit-il d'une épreuve de Bernoulli ? Si oui, donner un choix naturel du succès et son paramètre \(p\).
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1. Les multiples de \(3\) parmi les faces du dé sont \(3\) et \(6\). Ainsi :
\[
P(S)=\frac{2}{6}=\frac13.
\]
Donc :
\[
P(\overline S)=1-\frac13=\frac23.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(S)=\frac13}
\qquad\text{et}\qquad
\boxed{P(\overline S)=\frac23}.
\]
2. Pour une loi de Bernoulli de paramètre \(p\) :
\[
P(X=1)=p
\qquad\text{et}\qquad
P(X=0)=1-p.
\]
Ici :
\[
\boxed{P(X=1)=0{,}7}
\qquad\text{et}\qquad
\boxed{P(X=0)=0{,}3}.
\]
3. Pour une loi de Bernoulli de paramètre \(p\) :
\[
E(X)=p
\qquad\text{et}\qquad
V(X)=p(1-p).
\]
Donc :
\[
E(X)=0{,}4
\]
et
\[
V(X)=0{,}4\times0{,}6=0{,}24.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{E(X)=0{,}4}
\qquad\text{et}\qquad
\boxed{V(X)=0{,}24}.
\]
4. Oui. L'expérience possède deux issues si l'on choisit par exemple :
\[
S:\text{ « obtenir un cœur »}.
\]
Il y a \(13\) cœurs parmi \(52\) cartes, donc :
\[
p=P(S)=\frac{13}{52}=\frac14.
\]
C'est donc une épreuve de Bernoulli de paramètre :
\[
\boxed{p=\frac14}.
\]