Objectif : reconnaître rapidement un schéma de Bernoulli, identifier ses paramètres et calculer la probabilité d'une succession précise de succès et d'échecs.
1Identifier les paramètres
On lance \(8\) fois un dé équilibré. À chaque lancer, on appelle succès l'événement « obtenir un 6 ».
Donner les paramètres \(n\) et \(p\) du schéma de Bernoulli.
2Tirages avec remise
Une urne contient \(3\) boules rouges et \(7\) boules bleues. On effectue \(5\) tirages avec remise. On appelle succès « obtenir une boule rouge ».
Justifier brièvement qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli et donner \(n\) et \(p\).
3Probabilité d'une succession précise
On répète \(5\) fois une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p=0{,}3\).
Calculer la probabilité de la succession :
\[ S-\overline S-S-S-\overline S. \]4Avec ou sans remise ?
Une urne contient \(4\) boules rouges et \(6\) boules bleues. On tire successivement \(3\) boules sans remise.
Peut-on modéliser directement cette expérience par un schéma de Bernoulli de paramètre constant ? Justifier.
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1. On répète \(8\) fois la même épreuve, donc :
\[
\boxed{n=8}.
\]
Le succès est « obtenir un 6 », donc :
\[
\boxed{p=\frac16}.
\]
2. Grâce à la remise, la composition de l'urne est la même avant chaque tirage : les tirages sont indépendants et la probabilité du succès reste constante.
\[
\boxed{n=5}
\qquad\text{et}\qquad
\boxed{p=\frac3{10}}.
\]
3. La succession contient \(3\) succès et \(2\) échecs. Sa probabilité vaut :
\[
(0{,}3)^3(0{,}7)^2.
\]
Ainsi :
\[
(0{,}3)^3(0{,}7)^2
=0{,}01323.
\]
Donc :
\[
\boxed{P=0{,}01323}.
\]
4. Non. Sans remise, la composition de l'urne change après chaque tirage. La probabilité d'obtenir une boule rouge n'est donc pas constante et les tirages ne sont pas indépendants.