Objectif : savoir calculer un coefficient binomial et utiliser immédiatement la formule
\[
P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.
\]
1Coefficient binomial
Calculer :
\[ \binom{7}{2}. \]2Calcul direct de \(P(X=k)\)
On suppose :
\[ X\sim\mathcal B(8,0{,}3). \]Calculer \(P(X=2)\), arrondi au millième.
3Traduire puis calculer
On suppose :
\[ Y\sim\mathcal B(12,0{,}25). \]Calculer la probabilité d'obtenir exactement \(4\) succès, arrondie au millième.
4Situation contextualisée
Dans une production, \(10\,\%\) des pièces sont défectueuses. On contrôle \(20\) pièces de manière indépendante.
On note \(Z\) le nombre de pièces défectueuses.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement \(3\) pièces défectueuses, arrondie au millième.
Afficher la correction
1.
\[
\binom72=\frac{7\times6}{2\times1}=21.
\]
Donc :
\[
\boxed{\binom72=21}.
\]
2.
\[
P(X=2)
=
\binom82(0{,}3)^2(0{,}7)^6.
\]
Or :
\[
\binom82=28.
\]
Donc :
\[
P(X=2)\approx0{,}296.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(X=2)\approx0{,}296}.
\]
3. « Exactement \(4\) succès » se traduit par :
\[
P(Y=4).
\]
Donc :
\[
P(Y=4)
=
\binom{12}{4}(0{,}25)^4(0{,}75)^8.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(Y=4)\approx0{,}194}.
\]
4. Ici :
\[
Z\sim\mathcal B(20,0{,}1).
\]
Donc :
\[
P(Z=3)
=
\binom{20}{3}(0{,}1)^3(0{,}9)^{17}.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(Z=3)\approx0{,}190}.
\]