Objectif : savoir traduire correctement les expressions « exactement », « au plus » et « au moins » en probabilités, puis utiliser la loi binomiale et, lorsque c’est utile, l’événement contraire.
1Traduire « exactement »
On suppose :
\[X\sim\mathcal B(15,0{,}4).\]Traduire par une probabilité : « obtenir exactement 6 succès ».
2Traduire « au plus »
On suppose :
\[Y\sim\mathcal B(20,0{,}3).\]Traduire par une probabilité : « obtenir au plus 5 succès ».
3Calculer « au moins »
On suppose :
\[Z\sim\mathcal B(10,0{,}2).\]Calculer la probabilité d'obtenir au moins un succès, arrondie au millième.
4Situation contextualisée
Une joueuse réussit un tir avec une probabilité de \(0{,}7\). Elle effectue \(8\) tirs indépendants.
On note \(T\) le nombre de tirs réussis.
Calculer la probabilité qu'elle réussisse au moins 6 tirs, arrondie au millième.
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1. « Exactement 6 succès » se traduit par :
\[\boxed{P(X=6)}.\]
2. « Au plus 5 succès » signifie 5 succès ou moins. Donc :
\[\boxed{P(Y\leq 5)}.\]
3. « Au moins un succès » se traduit par \(P(Z\geq1)\). On utilise l’événement contraire :
\[P(Z\geq1)=1-P(Z=0).\]
Or :
\[P(Z=0)=(0{,}8)^{10}.\]
Ainsi :
\[P(Z\geq1)=1-(0{,}8)^{10}\approx0{,}893.\]
Donc :
\[\boxed{P(Z\geq1)\approx0{,}893}.\]
4. Ici :
\[T\sim\mathcal B(8,0{,}7).\]
« Au moins 6 tirs » se traduit par \(P(T\geq6)\). Donc :
\[P(T\geq6)=P(T=6)+P(T=7)+P(T=8).\]
On obtient :
\[P(T\geq6)\approx0{,}552.\]
Ainsi :
\[\boxed{P(T\geq6)\approx0{,}552}.\]