Objectif : savoir traduire une situation en probabilité cumulée et utiliser efficacement l'événement contraire :
\[P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1).\]
1Événement contraire
On considère une variable aléatoire \(X\).
Exprimer \(P(X\geq5)\) à l'aide d'une probabilité de la forme \(P(X\leq k)\).
2Probabilité cumulée
On suppose :
\[X\sim\mathcal B(12,0{,}25).\]Calculer \(P(X\leq2)\), arrondi au millième.
3Utiliser le complémentaire
On suppose :
\[Y\sim\mathcal B(15,0{,}4).\]Calculer \(P(Y\geq7)\), arrondi au millième.
4Probabilité sur un intervalle
Dans une population, \(15\,\%\) des individus possèdent une certaine caractéristique. On choisit au hasard et de manière indépendante \(20\) individus.
On note \(Z\) le nombre d'individus possédant cette caractéristique.
Calculer \(P(2\leq Z\leq4)\), arrondi au millième.
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1. L'événement contraire de \(\{X\geq5\}\) est \(\{X\leq4\}\). Donc :\[\boxed{P(X\geq5)=1-P(X\leq4)}.\]
2. \[P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).\] Avec \(X\sim\mathcal B(12,0{,}25)\), on obtient :\[P(X\leq2)\approx0{,}391.\] Ainsi :\[\boxed{P(X\leq2)\approx0{,}391}.\]
3. On utilise l'événement contraire :\[P(Y\geq7)=1-P(Y\leq6).\] Pour \(Y\sim\mathcal B(15,0{,}4)\) :\[P(Y\geq7)\approx0{,}390.\] Donc :\[\boxed{P(Y\geq7)\approx0{,}390}.\]
4. Ici :\[Z\sim\mathcal B(20,0{,}15).\] On cherche :\[P(2\leq Z\leq4)=P(Z\leq4)-P(Z\leq1).\] On obtient :\[P(2\leq Z\leq4)\approx0{,}654.\] Ainsi :\[\boxed{P(2\leq Z\leq4)\approx0{,}654}.\]