Objectif : mettre en œuvre le théorème des valeurs intermédiaires, une étude de variations et les propriétés des fonctions convexes.
Le sujet est original, construit à partir des savoir-faire évalués dans les annales du baccalauréat.
Énoncé
6 pointsOn considère la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb R\) par :
On note \(\mathcal C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Partie A — Étude de la fonction (2 points)
- Déterminer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
- Montrer que, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=(x-1)e^x\). En déduire le tableau de variations complet de \(f\).
Partie B — Résolution d'une équation (2 points)
- Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet exactement deux solutions réelles : l'une, notée \(\alpha\), dans \(]-2;0[\), et l'autre, notée \(\beta\), dans \(]1;2[\).
- À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de \(\alpha\), puis de \(\beta\), d'amplitude \(10^{-2}\). Justifier les encadrements par des valeurs de \(f\).
Partie C — Convexité et tangente (2 points)
- Montrer que \(f''(x)=xe^x\). Étudier la convexité de \(f\), puis déterminer les coordonnées du point d'inflexion de \(\mathcal C_f\).
- Déterminer l'équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal C_f\) au point d'abscisse \(0\). En déduire que, pour tout \(x\geq0\),
\[\boxed{(x-2)e^x+x+2\geq0.}\]
Corrigé détaillé
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Correction de la partie A — Limites et variations (2 points)
1. Limites aux bornes de \(\mathbb R\)
Quand \(x\to-\infty\), on utilise la croissance comparée : \(e^x\to0\) et \(xe^x\to0\). Ainsi :
Quand \(x\to+\infty\), \(x-2\to+\infty\) et \(e^x\to+\infty\), d'où :
2. Dérivée et variations
En dérivant le produit \((x-2)e^x\), on obtient :
Comme \(e^x>0\) pour tout réel \(x\), \(f'(x)\) est du signe de \(x-1\). La fonction est donc strictement décroissante sur \(]-\infty;1]\), puis strictement croissante sur \([1;+\infty[\). Son minimum vaut \(f(1)=1-e\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| Variations de \(f\) | \(1\) ↘ | \(1-e\) ↗ | \(+\infty\) |
La fonction \(f\) admet un minimum global égal à \(1-e<0\) en \(x=1\).
Correction de la partie B — TVI et encadrements (2 points)
3. Existence et unicité des solutions
La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\), car elle est construite à partir de sommes et produits de fonctions continues.
Sur \(]-\infty;1]\), elle est strictement décroissante, avec \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=1>0\) et \(f(1)=1-e<0\). Le théorème des valeurs intermédiaires, associé à la stricte monotonie, garantit donc une et une seule solution \(\alpha\) sur cet intervalle.
On précise son emplacement avec \(f(-2)=1-4e^{-2}>0\) (car \(e^2>4\)) et \(f(0)=-1<0\). Ainsi \(\alpha\in]-2;0[\).
Sur \([1;+\infty[\), \(f\) est continue et strictement croissante. Comme \(f(1)=1-e<0\) et \(f(2)=1>0\), le TVI et la stricte monotonie donnent une et une seule solution \(\beta\in]1;2[\).
Il existe exactement deux solutions de \(f(x)=0\) : \(\alpha\in]-2;0[\) et \(\beta\in]1;2[\).
4. Encadrements d'amplitude \(10^{-2}\)
On calcule, à la calculatrice :
Par continuité et décroissance de \(f\) sur cet intervalle :
De même :
Par continuité et croissance de \(f\) sur cet intervalle :
Chaque intervalle a bien une amplitude de \(0{,}01\). Un encadrement n'est pas la même chose qu'un arrondi au centième.
Correction de la partie C — Convexité et tangente (2 points)
5. Convexité et point d'inflexion
En dérivant \(f'(x)=(x-1)e^x\), on trouve :
Comme \(e^x>0\), le signe de \(f''(x)\) est celui de \(x\). Donc \(f\) est concave sur \(]-\infty;0]\) et convexe sur \([0;+\infty[\).
La dérivée seconde change de signe en \(0\) : la courbe \(\mathcal C_f\) présente un point d'inflexion \(I\) d'abscisse \(0\). Or \(f(0)=(-2)e^0+1=-1\), donc :
6. Tangente et inégalité
On dispose de \(f(0)=-1\) et de \(f'(0)=(-1)e^0=-1\). L'équation de la tangente en \(0\) est donc :
La fonction \(f\) est convexe sur \([0;+\infty[\). La courbe d'une fonction convexe est située au-dessus de ses tangentes sur son intervalle de convexité, en particulier de la tangente en \(0\).
En remplaçant \(f(x)\) par son expression puis en regroupant :
On obtient bien l'inégalité demandée, avec égalité en \(x=0\).
Réflexe bac : pour démontrer une inégalité faisant intervenir une fonction, chercher si elle découle de la position de la courbe par rapport à une tangente.