On modélise, dans une situation simplifiée, l’activité d’un produit en fonction du temps écoulé. Pour tout réel \(t\geq0\), exprimé en heures, on définit :
La valeur \(f(t)\) est un indice d’activité sans unité. On souhaite notamment déterminer les instants où cet indice dépasse le seuil de \(0{,}25\).
Les trois parties peuvent être traitées successivement. Les résultats obtenus pourront être réutilisés dans les questions suivantes.
Énoncé
Partie A — Étude de la fonction
2 points- Montrer que, pour tout \(t\geq0\), \(f'(t)=(1-t)\mathrm e^{-t}\).
- Déterminer \(f(0)\) et \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}f(t)\), puis dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0;+\infty[\).
- En déduire la valeur maximale de \(f\), et vérifier qu’elle dépasse \(0{,}25\).
Partie B — Deux instants et une dichotomie
2,5 points- Montrer que l’équation \(f(t)=\dfrac14\) admet exactement deux solutions sur \([0;+\infty[\). On les note \(\alpha\) et \(\beta\), avec \(\alpha<1<\beta\).
- Justifier les encadrements suivants à l’aide des variations :
\[0{,}35<\alpha<0{,}36\qquad\text{et}\qquad2{,}15<\beta<2{,}16.\]
- On souhaite obtenir par dichotomie un encadrement de \(\beta\). Compléter les deux lignes manquantes de l’algorithme Python ci-dessous.
Algorithme à compléter :
from math import exp
a, b = 2.0, 3.0
while b - a > 0.01:
m = (a + b) / 2
if m * exp(-m) > 0.25:
...
else:
...
print(a, b)On rappelle que \(f\) est décroissante sur \([1;+\infty[\).
- Pendant combien d’heures environ l’indice d’activité reste-t-il supérieur ou égal à \(0{,}25\) ? Donner le résultat au dixième d’heure.
Partie C — Convexité et tangente
2,5 points- Montrer que \(f''(t)=(t-2)\mathrm e^{-t}\).
- Étudier la convexité de \(f\) et préciser les coordonnées de son point d’inflexion \(I\).
- Déterminer l’équation réduite de la tangente \(T\) à la courbe représentative de \(f\) au point \(I\).
- En utilisant la position d’une courbe par rapport à ses tangentes, établir :
\[\begin{cases} t\mathrm e^{-t}\leq\dfrac{4-t}{\mathrm e^2}&\text{si }0\leq t\leq2,\\[5pt] t\mathrm e^{-t}\geq\dfrac{4-t}{\mathrm e^2}&\text{si }t\geq2. \end{cases}\]
Conseil de rédaction : dans les questions d’existence de solution, citer explicitement la continuité et les variations sur l’intervalle considéré ; pour l’inflexion, justifier le changement de signe de la dérivée seconde.
Corrigé détaillé
Partie A — Voir le corrigé : dérivée, limite et variations
1. Dérivée
La fonction est dérivable sur \([0;+\infty[\) comme produit de fonctions dérivables. En appliquant la règle de dérivation d’un produit :
2. Limite et variations
On a \(f(0)=0\). Par croissance comparée de l’exponentielle et des puissances, \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{\mathrm e^t}=0\). Donc \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}f(t)=0\).
L’exponentielle est strictement positive : le signe de \(f'(t)\) est donc celui de \(1-t\).
| t | 0 | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f′(t) | + | 0 | − | ||
| f(t) | 0 | 1e | 0 |
Le zéro à droite correspond à la limite de f(t) lorsque t tend vers +∞.
La fonction est strictement croissante sur \([0;1]\), puis strictement décroissante sur \([1;+\infty[\).
3. Maximum et comparaison au seuil
Le maximum est atteint pour \(t=1\) et vaut \(f(1)=\frac1{\mathrm e}\approx0{,}3679\).
Partie B — Voir le corrigé : TVI, encadrements et dichotomie
1. Existence et unicité des deux solutions
Sur \([0;1]\), la fonction \(f\) est continue et strictement croissante ; de plus \(f(0)=0<\frac14<f(1)=\frac1{\mathrm e}\). Le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie garantissent une unique solution \(\alpha\in]0;1[\).
Sur \([1;3]\), \(f\) est continue et strictement décroissante ; de plus \(f(1)=\frac1{\mathrm e}>\frac14\) tandis que \(f(3)=3\mathrm e^{-3}\approx0{,}1494<\frac14\). Le TVI et la stricte monotonie donnent une unique solution \(\beta\in]1;3[\). Sur \([3;+\infty[\), la fonction reste décroissante et inférieure au seuil : il n’existe donc pas d’autre solution.
2. Encadrements
À la calculatrice :
Les changements de signe de \(f(t)-0{,}25\), associés à la continuité et à la stricte monotonie sur chaque intervalle, donnent :
3. Algorithme complété
Sur \([2;3]\), la fonction est décroissante. Si \(f(m)>0{,}25\), alors \(m<\beta\), donc on remplace la borne inférieure par \(m\). Sinon, on remplace la borne supérieure.
from math import exp
a, b = 2.0, 3.0
while b - a > 0.01:
m = (a + b) / 2
if m * exp(-m) > 0.25:
a = m
else:
b = m
print(a, b)Après exécution, l’intervalle \([a;b]\) contient encore \(\beta\), et sa longueur est au plus \(0{,}01\).
4. Durée au-dessus du seuil
Entre les deux passages au seuil, l’indice est supérieur ou égal à \(0{,}25\). Par résolution numérique, \(\alpha\approx0{,}3574\) et \(\beta\approx2{,}1533\), donc :
Le modèle prédit donc environ 1 h 48 min au-dessus du seuil.
Partie C — Voir le corrigé : convexité, inflexion et tangente
1. Dérivée seconde
2. Convexité et point d’inflexion
Comme \(\mathrm e^{-t}>0\), le signe de \(f''(t)\) est celui de \(t-2\). Ainsi \(f\) est concave sur \([0;2]\) et convexe sur \([2;+\infty[\). Le signe de \(f''\) change en \(t=2\) : la courbe admet un point d’inflexion :
3. Tangente au point d’inflexion
On a \(f'(2)=-\mathrm e^{-2}\) et \(f(2)=2\mathrm e^{-2}\). L’équation de la tangente en \(t=2\) est :
4. Comparaison avec la tangente
Sur \([0;2]\), la fonction est concave : sa courbe est au-dessous de chacune de ses tangentes, en particulier de \(T\). Sur \([2;+\infty[\), elle est convexe : elle est au-dessus de la tangente \(T\) en \(2\). Ainsi :