ANNALES DU BAC • 2023 • 5 POINTS

Exercice de synthèse — Bac n°3

À partir d’un exercice de spécialité mathématiques réellement proposé au bac le 22 mars 2023 (Centres étrangers, sujet 2, exercice 1).

Lectures graphiquesExponentielleVariations et limitesConvexitéPoint d’inflexion
Énoncé · 3 parties · 5 points

On considère une fonction définie sur l’ensemble des réels par :

\[\boxed{f(x)=\frac{1}{1+\mathrm e^{-3x}}}\]

Sa représentation graphique est notée \(\mathcal C_f\). On donne les points \(A(0\,;\frac12)\) et \(B(1\,;\frac54)\). La droite \(\mathcal T\) représentée ci-dessous est la tangente à \(\mathcal C_f\) au point \(A\) ; elle passe aussi par \(B\).

Courbe de f(x)=1/(1+exp(-3x)) et tangente au point A(0;1/2)-3-2-112300,511,5xy0AB𝒞f𝒯
Figure redessinée pour Mission Maths : courbe \(\mathcal C_f\) (bleu-vert), tangente \(\mathcal T\) (orange) et points \(A\), \(B\).

Partie A — Observations graphiques

Les réponses sont lues sur la figure, sans calcul justificatif.

  1. Lire sur le graphique une équation cartésienne réduite de \(\mathcal T\).
  2. Repérer les domaines sur lesquels la courbe semble correspondre à une fonction convexe, puis concave.

Partie B — Étude analytique

On travaille sur l’ensemble des nombres réels.

  1. Calculer l’expression de la dérivée \(f'(x)\).
  2. En déduire le sens de variation de \(f\) sur \(\mathbb R\).
  3. Calculer les deux limites de \(f\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) puis vers \(-\infty\).
  4. Trouver exactement la valeur réelle \(\alpha\) telle que \(f(\alpha)=0{,}99\).

Partie C — Tangente et convexité

  1. Établir algébriquement l’équation de la tangente \(\mathcal T\) au point d’abscisse \(0\).
  2. Étudier les signes de \(f''(x)\) sur \(\mathbb R\), en utilisant l’expression admise ci-dessous.
  3. Exploiter cette étude pour :
    1. préciser les intervalles de convexité et de concavité ;
    2. identifier la nature géométrique du point \(A\) ;
    3. comparer la position de \(\mathcal C_f\) et de sa tangente \(\mathcal T\) selon le signe de \(x\), en justifiant.

Formule admise : \(f\) est deux fois dérivable et, pour tout \(x\in\mathbb R\) :

\[f''(x)=\frac{9\mathrm e^{-3x}(\mathrm e^{-3x}-1)}{(1+\mathrm e^{-3x})^3}.\]

Corrigé détaillé

Recherche d’abord chaque partie. Déplie les corrections uniquement lorsque tu as terminé.

Corrigé de la partie A — Lecture graphique

1. Équation de la tangente

On lit \(A(0;\frac12)\) et \(B(1;\frac54)\). Le coefficient directeur de la droite est :

\[m=\frac{\frac54-\frac12}{1-0}=\frac34.\]

Elle coupe l’axe des ordonnées à \(\frac12\).

\[\boxed{\mathcal T:\ y=\frac34x+\frac12}\]

2. Convexité lue sur la figure

La pente des tangentes à la courbe augmente avant \(x=0\), puis diminue ensuite. Le graphique suggère que \(f\) est convexe sur \(]-\infty;0]\), et concave sur \([0;+\infty[\). Cela sera démontré dans la partie C.

Corrigé de la partie B — Dérivée, variations et limite

1. Dérivée

En posant \(u(x)=1+\mathrm e^{-3x}\), on a \(u'(x)=-3\mathrm e^{-3x}\) et \(f=1/u\). Par dérivation de l’inverse :

\[\boxed{f'(x)=\frac{3\mathrm e^{-3x}}{(1+\mathrm e^{-3x})^2}}\]

2. Variations et tableau

Pour tout \(x\in\mathbb R\), \(\mathrm e^{-3x}>0\), donc le numérateur et le dénominateur de \(f'(x)\) sont strictement positifs. Par conséquent \(f'(x)>0\) et \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).

xf′(x)f(x) −∞0+∞ ++ 0½1

3. Limites aux bornes du domaine

Quand \(x\to+\infty\), on a \(\mathrm e^{-3x}\to0\). Ainsi :

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=1}.\]

Quand \(x\to-\infty\), on a \(\mathrm e^{-3x}\to+\infty\). Par conséquent :

\[\boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=0}.\]

Les droites \(y=0\) et \(y=1\) sont des asymptotes horizontales aux extrémités correspondantes.

4. Résolution de \(f(x)=0{,}99\)

On transforme l’égalité de manière équivalente :

\[\frac{1}{1+\mathrm e^{-3x}}=\frac{99}{100}\iff 100=99(1+\mathrm e^{-3x})\] \[\iff\mathrm e^{-3x}=\frac1{99}\iff -3x=-\ln99.\]
\[\boxed{\alpha=\frac{\ln99}{3}\approx1{,}532}\]

Cette solution est unique puisque \(f\) est strictement croissante ; elle existe aussi par continuité de \(f\), car \(0{,}99\) appartient à l’intervalle \(]0;1[\) décrit par \(f\).

Corrigé de la partie C — Convexité et point d’inflexion

1. Équation obtenue par dérivation

On calcule \(f(0)=\frac12\) et \(f'(0)=\frac{3}{(1+1)^2}=\frac34\). La formule d’une tangente au point d’abscisse \(a\) est \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\). Pour \(a=0\) :

\[\boxed{\mathcal T:\ y=\frac34x+\frac12}.\]

2. Signe de la dérivée seconde

Pour tout \(x\), \(9\mathrm e^{-3x}>0\) et \((1+\mathrm e^{-3x})^3>0\). Le signe de \(f''(x)\) est donc celui de \(\mathrm e^{-3x}-1\).

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, \(\mathrm e^{-3x}>1\iff -3x>0\iff x<0\). De même, l’expression est nulle en \(0\) et négative pour \(x>0\).

xf″(x) −∞0+∞ +0−

3. Convexité, inflexion et position relative

a. Sur \(]-\infty;0]\), \(f''\ge0\), donc \(f\) est convexe. Sur \([0;+\infty[\), \(f''\le0\), donc \(f\) est concave.

b. Comme \(f''\) change de signe lorsque \(x\) traverse \(0\), le point \(A(0;\frac12)\) est un point d’inflexion de \(\mathcal C_f\).

c. Une fonction convexe possède une courbe située au-dessus de ses tangentes sur un intervalle de convexité. Inversement, pour une fonction concave, la courbe est en dessous.

\[\boxed{\begin{aligned}x\le0 &: \quad f(x)\ge\frac34x+\frac12\\[3pt]x\ge0 &: \quad f(x)\le\frac34x+\frac12.\end{aligned}}\]

L’égalité a lieu en \(x=0\), point de contact des deux tracés.