ANNALE DU BAC • MÉTROPOLE 2024 • 6 POINTS

Exercice de synthèse — Annale n° 4

Continuité, logarithme et convexité : une étude complète qui aboutit à un problème géométrique de distance minimale.

TVI et unicitéConvexité et inflexionLogarithme népérienDistance minimalePerpendicularité
ÉNONCÉ • 3 PARTIES • 6 POINTS

Partie A — Interpréter une représentation graphique

On étudie la courbe \(\mathcal C_f\) d’une fonction \(f\) définie sur \(]-2;+\infty[\) et dérivable deux fois. La droite \(T\), tangente à cette courbe au point \(B\) d’abscisse \(-1\), passe également par le point \(A(0;-1)\).

On dispose du graphique suivant.

-4-3-2-11-1.5-1-0.50.5xyO B A α T Cf
Courbe \(\mathcal C_f\) et tangente \(T\) : figure redessinée à partir des données du sujet de 2024.
  1. Lire sur la figure \(f(-1)\), puis retrouver la valeur du nombre dérivé \(f'(-1)\).
  2. Le dessin suggère-t-il que \(f\) est convexe sur tout son domaine ? Argumenter avec l’allure de la courbe.
  3. Combien de solutions l’équation \(f(x)=0\) paraît-elle posséder ? Proposer une valeur approchée au dixième de l’une d’elles.

Partie B — Continuité, variations et convexité

Dans toute cette partie, pour \(x>-2\), on considère :

\[\boxed{f(x)=x^2+2x-1+\ln(x+2).}\]
  1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to-2^+} f(x)\) et interpréter cette limite sur la courbe. On admet que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
  2. Calculer la dérivée et l’écrire sous la forme \(\displaystyle f'(x)=\frac{2x^2+6x+5}{x+2}\).
  3. Étudier le signe de \(f'\), puis construire le tableau de variations complet de \(f\).
  4. Justifier qu’il existe un unique réel \(\alpha\) tel que \(f(\alpha)=0\), puis en donner une valeur arrondie au centième.
  5. Décrire le signe de \(f(x)\) en fonction de \(x\).
  6. En étudiant \(f''\), montrer que la courbe possède un seul point d’inflexion et déterminer son abscisse exacte.

Partie C — Un problème de distance minimale

Dans un repère orthonormé, on considère \(J(0;1)\) et la courbe \(\mathcal C_g\) de la fonction \(g(x)=\ln(x+2)\), définie pour \(x>-2\). On choisit un point \(M\) de cette courbe, d’abscisse \(x\).

On cherche la position de \(M\) pour laquelle la longueur \(JM\) est minimale. On introduit \(h(x)=JM^2\).

-112-0.50.511.52xyJMCg
La courbe \(\mathcal C_g\), le point \(J\) et un point \(M\) quelconque de la courbe. Repère orthonormé.
  1. Exprimer \(h\) en fonction de \(x\), et montrer que \(\displaystyle h(x)=x^2+[\ln(x+2)-1]^2\).
  2. On admet que \(\displaystyle h'(x)=\frac{2f(x)}{x+2}\). À partir des résultats de la partie B :
    1. dresser le tableau de variations de \(h\), sans chercher ses limites ;
    2. en déduire l’abscisse du point \(M\) qui minimise la distance \(JM\).
  3. On note \(M_\alpha\) ce point optimal.
    1. À partir de \(f(\alpha)=0\), prouver que \(\ln(\alpha+2)=1-2\alpha-\alpha^2\).
    2. Démontrer que la tangente à \(\mathcal C_g\) en \(M_\alpha\) est perpendiculaire à la droite \((JM_\alpha)\).
Rappel utile : deux droites de coefficients directeurs \(m\) et \(m'\) sont perpendiculaires si \(mm'=-1\).

Corrigé détaillé

Déplie chaque partie lorsque tu as terminé tes recherches. Les tableaux sont inclus dans les solutions.

Corrigé — Partie A : lecture de graphique

1. Valeur de la fonction et nombre dérivé

On lit \(B(-1;-2)\). Ainsi \(f(-1)=-2\). La droite \(T\) passe par \(B(-1;-2)\) et \(A(0;-1)\) : son coefficient directeur est

\[f'(-1)=\frac{-1-(-2)}{0-(-1)}=\boxed{1}.\]

L’équation de \(T\) est donc \(y=x-1\).

2. Forme de la courbe

La courbure paraît changer près de \(x\approx-1{,}3\). La courbe n’est donc pas convexe partout : elle paraît d’abord concave, puis convexe. La démonstration sera donnée dans la partie B.

3. Zéro de la fonction

La courbe ne coupe l’axe des abscisses qu’une seule fois, près de \(x\approx0{,}1\). Cette observation sera prouvée à l’aide du TVI et des variations.

Corrigé — Partie B : variations, TVI et inflexion

1. Limite en \(-2\)

Quand \(x\to-2^+\), le polynôme \(x^2+2x-1\) tend vers \(-1\) et \(\ln(x+2)\to-\infty\). Ainsi :

\[\boxed{\lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty}.\]

La droite \(x=-2\) est donc une asymptote verticale de \(\mathcal C_f\).

2. Dérivée

On dérive terme à terme, pour \(x>-2\) :

\[f'(x)=2x+2+\frac1{x+2}=\frac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2}.\]
\[\boxed{f'(x)=\frac{2x^2+6x+5}{x+2}}.\]

3. Signe de la dérivée et tableau de variations

Le dénominateur \(x+2\) est strictement positif sur le domaine. Quant au numérateur :

\[2x^2+6x+5=2\left(x+\frac32\right)^2+\frac12>0.\]

Donc \(f'(x)>0\) sur \(]-2;+\infty[\). La fonction est strictement croissante et passe de \(-\infty\) à \(+\infty\).

xf′(x)f(x)−2+∞+−∞+∞borne exclue

4. Existence, unicité et valeur approchée

La fonction \(f\) est continue sur \(]-2;+\infty[\), car elle est somme de fonctions continues sur cet intervalle. Ses limites sont \(-\infty\) et \(+\infty\) : le TVI garantit l’existence d’un zéro. Comme \(f\) est strictement croissante, ce zéro \(\alpha\) est unique.

Un calcul numérique donne \(f(0{,}11)\approx-0{,}0212\) et \(f(0{,}12)\approx0{,}0058\), donc \(0{,}11<\alpha<0{,}12\).

\[\boxed{\alpha\approx0{,}12\text{ au centième près}}.\]

5. Signe de la fonction

Par stricte croissance et puisque \(f(\alpha)=0\), on obtient :

\[\boxed{f(x)<0\ \text{si }-20\ \text{si }x>\alpha}.\]

6. Étude de la convexité

On dérive une seconde fois :

\[f''(x)=2-\frac1{(x+2)^2}=\frac{2(x+2)^2-1}{(x+2)^2}.\]

Le dénominateur est positif. Comme \(x+2>0\), on a \(f''(x)=0\) uniquement pour :

\[\boxed{\beta=-2+\frac1{\sqrt2}\approx-1{,}293}.\]

La dérivée seconde est négative sur \(]-2;\beta[\), puis positive sur \(]\beta;+\infty[\).

xf″(x)−2−2 + 1/√2+∞−0+

La fonction est concave avant \(\beta\), puis convexe après. Puisque \(f''\) change effectivement de signe en \(\beta\), \(\mathcal C_f\) admet un unique point d’inflexion, d’abscisse \(\beta\).

Corrigé — Partie C : distance et perpendicularité

1. Distance entre deux points

Le point \(M\) de la courbe de \(g\) a pour coordonnées \((x;\ln(x+2))\), et \(J=(0;1)\). D’après la formule de la distance dans un repère orthonormé :

\[JM^2=(x-0)^2+(\ln(x+2)-1)^2.\]
\[\boxed{h(x)=x^2+[\ln(x+2)-1]^2}.\]

2a. Variations de \(h\)

Sur \(]-2;+\infty[\), on admet que \(h'(x)=\dfrac{2f(x)}{x+2}\). Or \(x+2>0\) : \(h'\) possède donc le même signe que \(f\). D’après la partie B, \(h'<0\) avant \(\alpha\), \(h'(\alpha)=0\), puis \(h'>0\) après \(\alpha\).

xh′(x)h(x)−2α+∞−0+h(α)

2b. Minimum de la distance

La fonction \(h\) décroît puis croît : elle atteint donc son minimum global en \(\alpha\). Comme \(JM=\sqrt{h(x)}\) et que la racine carrée est croissante sur \([0;+\infty[\), la distance \(JM\) est également minimale lorsque \(x=\alpha\).

Numériquement, \(\alpha\approx0{,}117854\) et \(JM_\alpha\approx0{,}276\).

3a. Relation déduite de l’équation \(f(\alpha)=0\)

Comme \(f(\alpha)=0\), on écrit :

\[\alpha^2+2\alpha-1+\ln(\alpha+2)=0.\]
\[\boxed{\ln(\alpha+2)=1-2\alpha-\alpha^2}.\]

3b. Perpendicularité

La tangente à \(\mathcal C_g\) en \(M_\alpha\) a pour coefficient directeur

\[m_T=g'(\alpha)=\frac1{\alpha+2}.\]

Or \(M_\alpha=(\alpha;\ln(\alpha+2))\) et \(J=(0;1)\). Puisque \(\alpha\neq0\) (car \(f(0)=\ln2-1\neq0\)), le coefficient directeur de \((JM_\alpha)\) vaut

\[m_{JM}=\frac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha}=\frac{-2\alpha-\alpha^2}{\alpha}=-(\alpha+2).\]

Le produit est donc :

\[\boxed{m_T\times m_{JM}=\frac1{\alpha+2}\times[-(\alpha+2)]=-1}.\]

La tangente à la courbe de \(g\) en \(M_\alpha\) est donc perpendiculaire au segment \(JM_\alpha\).

-112-0.50.511.52xy JMα Cg
La distance minimale est atteinte lorsque le segment \(JM_\alpha\) est normal à la tangente à \(\mathcal C_g\).
Cette propriété illustre la géométrie du point d’une courbe le plus proche d’un point donné : sous des hypothèses adaptées, le segment reliant ces points est normal à la tangente.