Exponentielle, TVI et convexité
Deux parties complémentaires : prouver l’unicité d’une solution et retrouver des paramètres à partir d’une courbe et d’une tangente.
Travail demandé. Rédiger les justifications avec soin. Les parties A et B sont indépendantes. Le corrigé est masqué pour permettre de chercher l’exercice en autonomie.
Inspiré de l'exercice 2 du bac Polynésie 2023, sujet 1 (énoncé PDF). Les questions sont reformulées et la figure redessinée.
Partie A — Étude d’une fonction
Limites, dérivée seconde, variations de la dérivée et existence d’une unique solution.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
- Déterminer les limites de \(f\) lorsque \(x\to -\infty\) et lorsque \(x\to+\infty\).
- On admet que \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\).
- Montrer que \(f''(x)=\left(x-\dfrac32\right)e^{-x}\).
- En déduire les variations de \(f'\) et préciser son minimum.
- Justifier que \(f'(x)>0\) pour tout réel \(x\).
- Démontrer que l’équation \(f(x)=0\) possède une unique solution réelle \(\alpha\).
- Donner la valeur de \(\alpha\) arrondie au millième.
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1. Étudier les limites
Quand \(x\to-\infty\), on a \(x+\frac12\to-\infty\) et \(e^{-x}\to+\infty\). Leur produit tend donc vers \(-\infty\), tout comme \(x\). D’où :
\[\boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}.\]À \(+\infty\), les croissances comparées donnent \(xe^{-x}=\frac{x}{e^x}\to0\), ainsi que \(e^{-x}\to0\). Donc \(f(x)=xe^{-x}+\frac12 e^{-x}+x\), et :
\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}.\]2.a. Calculer la dérivée seconde
On dérive le produit \(\left(x+\frac12\right)e^{-x}\) :
\[f'(x)=e^{-x}-\left(x+\frac12\right)e^{-x}+1=\left(\frac12-x\right)e^{-x}+1.\]En dérivant une nouvelle fois :
\[\begin{aligned}f''(x)&=-e^{-x}-\left(\frac12-x\right)e^{-x}\\&=\boxed{\left(x-\frac32\right)e^{-x}}.\end{aligned}\]2.b. Étudier les variations de la dérivée
Puisque \(e^{-x}>0\) sur \(\mathbb R\), \(f''\) est négative avant \(\frac32\) et positive après. Ainsi \(f'\) décroît puis croît : elle admet donc un minimum en \(x=\frac32\).
Sa valeur minimale est :
\[\boxed{f'\!\left(\frac32\right)=1-e^{-3/2}\approx0{,}777}.\]2.c. Donner le signe de \(f'\)
Le minimum de \(f'\) est strictement positif, puisque \(0 La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\) car elle est dérivable. Elle est strictement croissante sur \(\mathbb R\) car \(f'>0\). Enfin, ses limites sont \(-\infty\) et \(+\infty\). Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel \(\alpha\) tel que \(f(\alpha)=0\). À la calculatrice, on obtient : La stricte croissance donne \(-0{,}286<\alpha<-0{,}285\), mais pour établir correctement l’arrondi, on utilise une approximation plus fine : \(\alpha\approx-0{,}28543966\).2.d. Justifier l’existence et l’unicité de la solution
2.e. Calculer une valeur approchée de \(\alpha\)
Partie B — Convexité et détermination de paramètres
Une lecture de courbe, un point d’inflexion et l’équation d’une tangente.
On considère une fonction \(h\) deux fois dérivable sur \(\mathbb R\), de la forme :
Le graphique ci-dessous représente la courbe \(\mathcal C_h\), ainsi que les points \(A(-2;-2{,}5)\) et \(B(2;3{,}5)\).
- Estimer graphiquement l’abscisse du point d’inflexion de la courbe \(\mathcal C_h\), s’il existe.
- On donne, pour tout réel \(x\) : \(h''(x)=\left(x-\frac32\right)e^{-x}\). Utiliser cette expression pour confirmer ou infirmer la conjecture.
- Déterminer une équation cartésienne réduite de la droite \((AB)\).
- On sait que \((AB)\) est tangente à \(\mathcal C_h\) au point d’abscisse \(0\). Retrouver les valeurs exactes des paramètres \(a\) et \(b\).
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1. Conjecturer un point d’inflexion
En observant la courbe, sa convexité semble changer pour une abscisse voisine de \(1{,}5\).
2. Vérifier la conjecture
Comme \(e^{-x}>0\), le signe de \(h''(x)\) est exactement le signe de \(x-\frac32\).
La fonction \(h\) est concave sur \(]-\infty;\frac32]\), puis convexe sur \([\frac32;+\infty[\). Le changement de signe de \(h''\) confirme l’existence d’un unique point d’inflexion d’abscisse \(\boxed{\frac32}\).
3. Déterminer l’équation de \((AB)\)
Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) vaut :
\[m=\frac{3{,}5-(-2{,}5)}{2-(-2)}=\frac64=\frac32.\]En utilisant \(B(2;3{,}5)\), on obtient \(3{,}5=\frac32\times2+p\), donc \(p=\frac12\).
4. Identifier les coefficients \(a\) et \(b\)
La tangente en \(0\) passe par \(\left(0;\frac12\right)\) et a pour pente \(\frac32\). On en déduit les deux conditions :
\[h(0)=\frac12\qquad\text{et}\qquad h'(0)=\frac32.\]Or \(h(0)=b\). Donc \(b=\frac12\).
Par dérivation, on obtient :
\[h'(x)=(a-ax-b)e^{-x}+1.\]En évaluant en \(x=0\) :
\[h'(0)=a-b+1=\frac32\quad\Longrightarrow\quad a-b=\frac12.\]Comme \(b=\frac12\), il vient \(a=1\).