Logarithme, convexité et tangentes
Un véritable exercice de bac pour exploiter une fonction auxiliaire, démontrer une croissance stricte et déterminer le nombre de tangentes de pente donnée.
Consigne. Justifier chaque réponse. Les sept questions sont celles de l’exercice 2 du bac 2025, Polynésie, jour 2, organisées ici en trois parties pédagogiques. Les formulations ont été adaptées, mais les données et objectifs mathématiques sont conservés.
Consulter le sujet officiel (PDF) ↗ · Code repère : 25-MATJ2PO1.
Partie A — Découvrir la fonction
Questions 1 à 3 du sujet : conjectures, équation et limite.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]2;+\infty[\) par :
À l’aide du graphique, proposer le sens de variation de \(f\), les limites aux bornes de son domaine, ainsi que l’existence éventuelle d’asymptotes.
Résoudre \(f(x)=0\) pour \(x>2\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 2^+} f(x)\). Quelle conjecture graphique ce résultat confirme-t-il ?
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1. Conjectures à partir du graphique
La courbe semble strictement croissante sur \(]2;+\infty[\). Quand \(x\) se rapproche de 2 par valeurs supérieures, \(f(x)\) semble tendre vers \(-\infty\) ; pour \(x\to+\infty\), la courbe monte sans borne.
On conjecture donc que la droite \(x=2\) est une asymptote verticale. Il n’apparaît pas d’asymptote horizontale à droite.
2. Résoudre \(f(x)=0\)
Sur le domaine, \(x>2\), donc \(x\neq0\). Ainsi :
\[x\ln(x-2)=0\iff\ln(x-2)=0\iff x-2=1.\]3. Limite quand \(x\to 2^+\)
Lorsque \(x\to2^+\), on a \(x-2\to0^+\) et \(\ln(x-2)\to-\infty\), tandis que \(x\to2>0\).
\[\boxed{\lim_{x\to2^+}x\ln(x-2)=-\infty}.\]Cette limite confirme l’existence de l’asymptote verticale d’équation \(x=2\).
Partie B — Variations et convexité
Questions 4 à 6 : dérivée, fonction auxiliaire, tableaux et inflexion.
Montrer que, pour tout \(x>2\),
On pose \(g=f'\) sur \(]2;+\infty[\).
- Établir que \(\displaystyle g'(x)=\frac{x-4}{(x-2)^2}\).
- On admet les limites \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}g(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\). Construire le tableau de variations de \(g\), en indiquant la valeur exacte de son extremum.
- Justifier que \(g(x)>0\) pour tout \(x>2\).
- En déduire les variations de \(f\) sur \(]2;+\infty[\).
Déterminer les intervalles de concavité et de convexité de \(f\), puis les coordonnées de son éventuel point d’inflexion.
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4. Dérivation
On dérive le produit de \(x\) par \(\ln(x-2)\) :
\[f'(x)=1\cdot\ln(x-2)+x\cdot\frac1{x-2}.\]5.a. Dérivée de la fonction auxiliaire
En dérivant terme à terme :
\[\begin{aligned}g'(x)&=\frac1{x-2}+\frac{(x-2)-x}{(x-2)^2}\\&=\frac{x-2-2}{(x-2)^2}\\&=\boxed{\frac{x-4}{(x-2)^2}}.\end{aligned}\]5.b. Tableau de variations de \(g\)
Le dénominateur \((x-2)^2\) est positif, donc \(g'\) est du signe de \(x-4\). La fonction \(g\) décroît sur \(]2;4]\), puis croît sur \([4;+\infty[\). Son minimum est atteint en 4 :
\[\boxed{g(4)=\ln2+\frac42=2+\ln2}.\]5.c. Positivité de \(g\)
Comme \(\ln2>0\), on a \(g(4)=2+\ln2>0\). Puisque cette valeur est le minimum global de \(g\),
5.d. Variations de \(f\)
On a \(f'=g>0\) : la fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \(]2;+\infty[\). De plus, \(x\ln(x-2)\to+\infty\) lorsque \(x\to+\infty\).
6. Convexité et point d’inflexion
Comme \(f'=g\), on a \(f''=g'\). Ainsi :
\[f''(x)=\frac{x-4}{(x-2)^2}.\]Le dénominateur est strictement positif ; le signe de \(f''\) est donc celui de \(x-4\).
\(f\) est concave sur \(]2;4]\), puis convexe sur \([4;+\infty[\). La dérivée seconde change effectivement de signe en 4, donc la courbe admet un unique point d’inflexion :
Partie C — Deux tangentes parallèles
Question 7 : exploiter les variations de \(g=f'\).
Combien de points de la courbe \(\mathcal C_f\) admettent une tangente dont le coefficient directeur vaut exactement 3 ? Justifier la réponse.
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Condition sur la dérivée
En un point d’abscisse \(a\), le coefficient directeur de la tangente est \(f'(a)=g(a)\). On recherche donc le nombre de solutions de :
\[g(a)=3.\]La fonction \(g\) est continue, strictement décroissante sur \(]2;4]\), strictement croissante sur \([4;+\infty[\), et tend vers \(+\infty\) aux deux bornes. Or :
\[g(4)=2+\ln2<3\qquad\text{car}\quad\ln2<1.\]Le théorème des valeurs intermédiaires, combiné à la stricte monotonie sur chacun des deux intervalles, garantit une et une seule solution sur \(]2;4[\) et une et une seule sur \(]4;+\infty[\).
Pour aller plus loin : situer les tangentes
Cette précision n’était pas demandée dans le sujet officiel. On remarque que \(g(3)=\ln1+3=3\) : la première tangente est située en \(A(3;0)\) et a pour équation \(y=3x-9\).
La seconde abscisse vaut environ \(6{,}922\), par résolution numérique de \(g(x)=3\).