Terminale spécialité mathématiques • Combinatoire et dénombrement

Exercice de synthèse 4 — Table ronde

Placements circulaires, contraintes de voisinage, blocs de personnes, alternance et généralisation.

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Objectif. Dans ce problème, on étudie différentes contraintes de placement autour d’une table ronde. Deux placements obtenus l’un à partir de l’autre par une simple rotation sont considérés comme identiques.

Énoncé

Douze personnes distinctes s’installent autour d’une table ronde ; deux placements obtenus par rotation sont identiques.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
  1. Dénombrer tous les placements.
  2. Deux personnes \(A\) et \(B\) veulent être voisines. Dénombrer les placements possibles.
  3. \(A\) et \(B\) refusent d’être voisines. Dénombrer les placements possibles.
  4. \(A\), \(B\) et \(C\) veulent être consécutives. Dénombrer les placements possibles.
  5. \(A\) doit être placé entre \(B\) et \(C\). Dénombrer les placements possibles.
  6. Six personnes appartiennent à deux groupes de trois : imposer l’alternance entre deux catégories de six personnes.
  7. Compter les placements où quatre personnes données occupent quatre places consécutives.
  8. Généraliser le nombre de placements circulaires de \(n\) personnes lorsque deux personnes données doivent être voisines.

Compétences travaillées

Principe multiplicatif Permutations Placements circulaires Méthode des blocs Événement complémentaire Contraintes de voisinage Généralisation

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