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Exercice 10 – Pyramide, alignement et coplanarité

Terminale spécialité mathématiques • Géométrie dans l’espace • Préparation au bac

Cet exercice mobilise plusieurs méthodes fondamentales de géométrie dans l’espace : coordonnées d’un point, alignement, coplanarité et parallélisme de droites.

Énoncé

On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-contre.

Le point O est le centre de la base ABCD avec OB = 1.

On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur.

On se place dans le repère \(\left(O\,;\,\overrightarrow{OB},\,\overrightarrow{OC},\,\overrightarrow{OS}\right)\).

On définit le point K par la relation :

\(\overrightarrow{SK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{SD}\)

et on note I le milieu du segment [SO].

a. Déterminer les coordonnées du point K.
En déduire que les points B, I et K sont alignés.

On admet que, par symétrie, le point L défini par la relation

\(\overrightarrow{SL}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{SA}\)

est aligné avec C et I.

On admet que les droites (AD) et (KL) sont parallèles.

b. Justifier que B, C, K et L sont coplanaires.
Montrer alors que les droites (AD) et (KL) sont parallèles.
Pyramide régulière SABCD avec O centre de la base et I sur la hauteur SO

D’après Baccalauréat Amérique du Nord 2016

Compétences travaillées

Repérage dans l’espace Coordonnées Vecteurs Alignement Coplanarité Parallélisme Préparation au bac

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