Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet.
On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.
Partie A — Première modélisation
Dans cette partie, on admet que, chaque mois :
- 90 % des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
- 130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.
Au cours du premier mois, 300 questions ont été posées.
Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le n-ième mois, on modélise la situation à l’aide de la suite (un) définie par :
u1 = 3 et, pour tout entier naturel n ≥ 1, un+1 = 0,9un + 1,3.
1. Calculer u2 et u3 et proposer une interprétation dans le contexte de l’exercice.
2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n ≥ 1 :
un = 13 − 1009 × 0,9n.
3. En déduire que la suite (un) est croissante.
4. On considère le programme ci-dessous, écrit en langage Python.
def seuil(p):
n = 1
u = 3
while u <= p:
n = n + 1
u = 0.9*u + 1.3
return n
Déterminer la valeur renvoyée par la saisie seuil(8.5) et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.
Partie B — Une autre modélisation
On considère une seconde modélisation à l’aide d’une nouvelle suite (vn) définie, pour tout entier naturel n ≥ 1, par :
vn = 9 − 6 × e−0,19×(n−1).
Le terme vn est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le n-ième mois sur la FAQ.
1. Préciser les valeurs arrondies au centième de v1 et v2.
2. Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de n telle que vn > 8,5.
Partie C — Comparaison des deux modèles
1. L’entreprise considère qu’elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ.
Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ? Justifier votre réponse.
Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ? Justifier votre réponse.
2. En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme ?
Compétences mobilisées : suites définies par récurrence, calcul de termes, raisonnement par récurrence, sens de variation, expression explicite, fonction exponentielle, programmation Python, recherche de seuil, limites et comparaison de modèles.