Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que :
- si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans 90 % des cas le jour suivant ;
- si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 70 % des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.
On note, pour tout entier naturel n :
- Rn l’événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la n-ième séance » ;
- pn la probabilité de l’événement Rn.
On considère que p0 = 0,6.
1. Soit n un entier naturel. Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.
2. Justifier, en vous aidant de l’arbre, que pour tout entier naturel n, on a :
pn+1 = 0,6pn + 0,3.
3. On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par :
un = pn − 0,75.
a. Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n :
pn = 0,75 − 0,15 × 0,6n.
c. En déduire que la suite (pn) est convergente et déterminer sa limite ℓ.
d. Interpréter la valeur de ℓ dans le cadre de l’exercice.
Compétences mobilisées : probabilités conditionnelles, arbre pondéré, formule des probabilités totales, suites définies par récurrence, suite auxiliaire géométrique, expression explicite, convergence et limite.