MISSION MATHS • TERMINALE SPÉCIALITÉ

Continuité & convexité
Fiche d’exercices

Huit exercices de difficulté progressive pour passer des automatismes aux raisonnements complets : TVI, dichotomie, dérivées, tangentes, convexité et inflexion.

8 exercicesCorrigés expliqués3 niveauxEnviron 3 heures de travail

Comment utiliser la fiche ?

Traite les questions sans consulter les solutions. Les exercices 1 et 2 posent les bases ; les exercices 3 à 5 renforcent les méthodes ; les exercices 6 à 8 demandent une rédaction plus complète.

Chaque exercice possède un corrigé détaillé à déplier, avec les justifications attendues en Terminale spécialité. Pour le bac, entraîne-toi à citer les hypothèses du TVI et à justifier les changements de convexité.

Conseil : travaille d’abord avec les solutions masquées.
EXERCICE 01Continuité et dérivabilitéNiveau 1 · 20 min

Raccordement d’une fonction définie par morceaux

Pour deux réels \(a\) et \(b\), on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x)=\begin{cases}x^2+1&\text{si }x\leqslant1,\\ax+b&\text{si }x>1.\end{cases}\]
  1. Déterminer \(f(1)\), puis les limites de \(f\) à gauche et à droite de 1.
  2. Montrer que \(f\) est continue en 1 si, et seulement si, \(a+b=2\).
  3. Déterminer les valeurs de \(a\) et \(b\) pour lesquelles \(f\) est dérivable en 1.
  4. Avec les valeurs obtenues, étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et déterminer son minimum.
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Correction — Exercice 1

  1. On a \(f(1)=1^2+1=2\). À gauche, le polynôme donne \(\lim_{x\to1^-}f(x)=2\). À droite, \(\lim_{x\to1^+}f(x)=a+b\).

  2. La continuité en 1 équivaut à l’égalité des deux limites et de \(f(1)\), soit \(\boxed{a+b=2}\).

  3. La dérivée à gauche vaut \(2\) (dérivée de \(x^2+1\) en 1) et la dérivée à droite vaut \(a\). Il faut d’abord la continuité, puis \(a=2\). D’où \(\boxed{a=2,\ b=0}\). Réciproquement, ces valeurs rendent bien la fonction continue et les dérivées unilatérales égales.

  4. Pour ces valeurs, \(f'(x)=2x\) si \(x<1\), \(f'(1)=2\), et \(f'(x)=2\) si \(x>1\). Ainsi \(f\) décroît sur \(]-\infty;0]\), croît sur \([0;+\infty[\), et atteint le minimum \(\boxed{f(0)=1}\).

EXERCICE 02Continuité et équationsNiveau 1 · 20 min

TVI et solution unique d’une équation

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;1]\) par \(f(x)=x^3+2x-2\).

  1. Justifier que \(f\) est continue sur \([0;1]\), puis calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).
  2. Étudier les variations de \(f\) et démontrer que l’équation \(f(x)=0\) possède une unique solution \(\alpha\) dans \(]0;1[\).
  3. Après avoir comparé \(\alpha\) à \(\frac34\), donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}01\).
  4. Résoudre, en fonction de \(\alpha\), l’inéquation \(f(x)\geqslant0\) sur \([0;1]\).
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Correction — Exercice 2

  1. Une fonction polynomiale est continue. \(f(0)=-2\) et \(f(1)=1\).

  2. \(f'(x)=3x^2+2>0\) sur \([0;1]\) : \(f\) est strictement croissante. Par continuité et changement de signe (TVI), elle s’annule au moins une fois. Par stricte croissance, cette solution est unique.

  3. \(f(\frac34)=\frac{27}{64}+\frac32-2=-\frac5{64}<0\), donc \(\alpha>\frac34\). On trouve :

    \[f(0{,}77)=-0{,}003467<0,\quad f(0{,}78)=0{,}034552>0.\]

    Ainsi \(\boxed{0{,}77<\alpha<0{,}78}\), avec une amplitude de 0,01.

  4. La stricte croissance implique que \(f(x)<0\) avant \(\alpha\) et \(f(x)>0\) après. L’ensemble des solutions est \(\boxed{[\alpha;1]}\).

EXERCICE 03Algorithme et précisionNiveau 2 · 25 min

Une dichotomie menée jusqu’au bout

Soit \(h(x)=x^3+x-1\) sur \([0;1]\). On cherche à approcher son unique zéro \(\beta\) à l’aide d’une dichotomie.

  1. Justifier que \(h(x)=0\) possède une unique solution dans \([0;1]\).
  2. À partir de l’intervalle \([0;1]\), effectuer quatre étapes de dichotomie en précisant chaque milieu et le nouvel intervalle conservé.
  3. Déterminer le nombre minimal d’étapes nécessaires pour obtenir, à partir de \([0;1]\), un intervalle de longueur strictement inférieure à \(10^{-3}\).
  4. Compléter l’idée d’un algorithme Python réalisant dix étapes de dichotomie, puis donner l’intervalle obtenu.
def h(x):
    return x**3 + x - 1

a, b = 0, 1
for k in range(10):
    m = (a + b) / 2
    if h(a) * h(m) <= 0:
        b = m
    else:
        a = m
print(a, b)
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Correction — Exercice 3

  1. \(h\) est continue, \(h(0)=-1\), \(h(1)=1\), et \(h'(x)=3x^2+1>0\). Le TVI et la stricte croissance garantissent un unique zéro \(\beta\).

  2. À chaque étape, on conserve le demi-intervalle sur lequel \(h\) change de signe :

    ÉtapeMilieuSigne de \(h(m)\)Intervalle retenu
    1\(0{,}5\)\(-\)\([0{,}5;1]\)
    2\(0{,}75\)\(+\)\([0{,}5;0{,}75]\)
    3\(0{,}625\)\(-\)\([0{,}625;0{,}75]\)
    4\(0{,}6875\)\(+\)\(\boxed{[0{,}625;0{,}6875]}\)

  3. Après \(n\) étapes, la longueur vaut \(2^{-n}\). Il faut \(2^{-n}<10^{-3}\). Or \(2^{-9}=0{,}001953125\) et \(2^{-10}=0{,}0009765625\), d’où \(\boxed{n=10}\).

  4. L’algorithme ci-dessus convient : il teste un changement de signe sur \([a;m]\). Après dix étapes, il renvoie \(\boxed{[0{,}681640625;0{,}6826171875]}\). La racine vaut environ \(0{,}68233\).

EXERCICE 04Convexité et tangentesNiveau 2 · 20 min

La tangente devient une inégalité

On considère la fonction exponentielle \(f(x)=e^x\), définie sur \(\mathbb R\).

  1. Démontrer que \(f\) est strictement convexe sur \(\mathbb R\).
  2. Déterminer l’équation de la tangente à sa courbe au point d’abscisse 0.
  3. En déduire que, pour tout \(x\in\mathbb R\), \(\boxed{e^x\geqslant1+x}\). Préciser le cas d’égalité.
  4. Appliquer cette inégalité à \(x=t\) et \(x=-t\), puis montrer que \(e^t+e^{-t}\geqslant2\). En déduire, pour tout \(u>-1\), l’inégalité \(\ln(1+u)\leqslant u\).
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Correction — Exercice 4

  1. \(f''(x)=e^x>0\) pour tout réel \(x\), donc \(f\) est strictement convexe.

  2. \(f(0)=1\) et \(f'(0)=1\). La tangente est \(\boxed{y=1+x}\).

  3. Une courbe convexe est au-dessus de toutes ses tangentes. Donc \(e^x\geqslant1+x\) pour tout réel \(x\). La stricte convexité donne l’égalité uniquement pour \(x=0\).

  4. On a \(e^t\geqslant1+t\) et \(e^{-t}\geqslant1-t\) ; en additionnant, \(\boxed{e^t+e^{-t}\geqslant2}\), avec égalité pour \(t=0\).

    Si \(u>-1\), on pose \(x=\ln(1+u)\). L’inégalité initiale donne \(1+u=e^x\geqslant1+\ln(1+u)\), donc \(\boxed{\ln(1+u)\leqslant u}\), avec égalité pour \(u=0\).

EXERCICE 05Dérivée seconde et tangenteNiveau 2 · 25 min

Point d’inflexion et position de la courbe

On étudie le polynôme \(f(x)=x^3-3x^2+2\) sur \(\mathbb R\).

  1. Calculer \(f'(x)\), puis donner les variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).
  2. Calculer \(f''(x)\). Déterminer les intervalles de convexité et de concavité ainsi que les coordonnées du point d’inflexion \(I\).
  3. Écrire l’équation réduite de la tangente \(T\) à la courbe en \(I\).
  4. Vérifier que \(f(x)-(-3x+3)=(x-1)^3\). En déduire la position relative de la courbe et de sa tangente.
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Correction — Exercice 5

  1. \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). Le signe est positif sur \(]-\infty;0[\), négatif sur \(]0;2[\), positif sur \(]2;+\infty[\). Donc \(f\) croît jusqu’à \(f(0)=2\), décroît jusqu’à \(f(2)=-2\), puis croît à nouveau.

  2. \(f''(x)=6x-6=6(x-1)\). La fonction est concave sur \(]-\infty;1]\), convexe sur \([1;+\infty[\). Comme \(f''\) change de signe en 1, \(I=(1;f(1))=\boxed{(1;0)}\) est le point d’inflexion.

  3. \(f'(1)=3-6=-3\), \(f(1)=0\). Ainsi \(y=-3(x-1)\), soit \(\boxed{T:\ y=-3x+3}\).

  4. On développe \((x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1\), qui vaut précisément \(f(x)-(-3x+3)\). Ainsi \(f(x)<-3x+3\) si \(x<1\) ; égalité en 1 ; \(f(x)>-3x+3\) si \(x>1\). La courbe traverse sa tangente au point d’inflexion.

EXERCICE 06Variations, limites et convexitéNiveau 3 · 30 min

Une étude complète avec exponentielle

On considère la fonction \(f(x)=(x+2)e^{-x}\), définie sur \(\mathbb R\).

  1. Déterminer les limites de \(f\) lorsque \(x\to-\infty\) et lorsque \(x\to+\infty\).
  2. Calculer \(f'(x)\), puis dresser le tableau de variations complet de \(f\).
  3. Déterminer les coordonnées de l’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses et la valeur maximale de \(f\).
  4. Étudier la convexité de \(f\) et déterminer son éventuel point d’inflexion.
  5. Donner l’équation de la tangente à la courbe en ce point d’inflexion.
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Correction — Exercice 6

  1. Lorsque \(x\to+\infty\), \((x+2)e^{-x}=\frac{x+2}{e^x}\to0\). Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(x+2\to-\infty\) et \(e^{-x}\to+\infty\), d’où \(\boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}\).

  2. Par dérivation d’un produit, \(f'(x)=e^{-x}-(x+2)e^{-x}=\boxed{-(x+1)e^{-x}}\). Comme \(e^{-x}>0\), \(f'>0\) sur \(]-\infty;-1[\), \(f'(-1)=0\), puis \(f'<0\) sur \(]-1;+\infty[\).

    \(x\)\(-\infty\)\(-1\)\(+\infty\)
    \(f'(x)\)\(+\)\(0\)\(-\)
    \(f(x)\)
    \(-\infty\)
    \(e\)
    \(0\)

    Lecture : la fonction croît de \(-\infty\) à \(e\), puis décroît vers 0.

  3. \(f(x)=0\) équivaut à \(x+2=0\), puisque \(e^{-x}>0\). L’intersection avec l’axe des abscisses est \(\boxed{(-2;0)}\). Le maximum est \(\boxed{f(-1)=e}\).

  4. \(f''(x)=-e^{-x}+(x+1)e^{-x}=\boxed{xe^{-x}}\). Son signe est celui de \(x\), d’où concavité sur \(]-\infty;0]\), convexité sur \([0;+\infty[\). Le point d’inflexion est \(\boxed{I(0;2)}\).

  5. \(f'(0)=-1\) et \(f(0)=2\). Donc \(\boxed{T:\ y=2-x}\).

EXERCICE 07Définition géométrique de la convexitéNiveau 2 · 20 min

La courbe et sa corde

Soit \(f(x)=x^2\). On considère les points \(A(1;f(1))\) et \(B(3;f(3))\) de sa courbe.

  1. Justifier que \(f\) est convexe sur \(\mathbb R\).
  2. Calculer les coordonnées de \(A\) et \(B\), puis l’équation de la droite \((AB)\).
  3. Montrer que la courbe est située sous sa corde \([AB]\) pour \(1\leqslant x\leqslant3\). Quelle est la différence verticale au point d’abscisse 2 ?
  4. En vous inspirant de cette situation, démontrer que, pour tous réels \(a,b\), \[\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leqslant\frac{a^2+b^2}{2}.\] Quand a-t-on égalité ?
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Correction — Exercice 7

  1. \(f''(x)=2>0\), donc \(f\) est strictement convexe sur \(\mathbb R\).

  2. \(A(1;1)\) et \(B(3;9)\). Le coefficient directeur est \((9-1)/(3-1)=4\). L’équation est \(\boxed{y=4x-3}\).

  3. Pour \(x\in[1;3]\), la différence « corde moins courbe » vaut :

    \[(4x-3)-x^2=(x-1)(3-x)\geqslant0.\]

    La courbe est donc sous la corde. Au milieu, en \(x=2\), la corde a pour ordonnée \(5\) et la courbe \(4\) : l’écart vertical vaut \(\boxed{1}\).

  4. On calcule :

    \[\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{(a-b)^2}{4}\geqslant0.\]

    L’inégalité est établie ; il y a égalité exactement lorsque \(\boxed{a=b}\).

EXERCICE 08Bilan du chapitreNiveau 3 · 30 min

Logarithme, TVI et tangente majorante

On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=\ln x+x-2\).

  1. Étudier les limites de \(g\) en 0 (par valeurs positives) et en \(+\infty\).
  2. Étudier les variations de \(g\), puis montrer que \(g(x)=0\) possède une unique solution \(\gamma\) appartenant à \(]1;2[\).
  3. Montrer que \(1{,}55<\gamma<1{,}56\).
  4. Étudier la convexité de \(g\) et déterminer l’équation de sa tangente au point d’abscisse 1.
  5. À l’aide de la position de la courbe par rapport à cette tangente, justifier que \(\gamma\geqslant\frac32\).
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Correction — Exercice 8

  1. \(\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty\), donc \(\boxed{\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty}\). Et \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\) car les deux termes \(\ln x\) et \(x\) tendent vers \(+\infty\).

  2. \(g'(x)=\frac1x+1>0\) pour \(x>0\). La fonction est continue et strictement croissante. \(g(1)=-1<0\) et \(g(2)=\ln2>0\) : le TVI et la monotonie assurent une unique solution \(\gamma\in]1;2[\).

  3. À la calculatrice, \(g(1{,}55)\approx-0{,}01175<0\) et \(g(1{,}56)\approx0{,}00469>0\). Donc \(\boxed{1{,}55<\gamma<1{,}56}\).

  4. \(g''(x)=-1/x^2<0\) sur \(]0;+\infty[\) : \(g\) est strictement concave. Comme \(g(1)=-1\) et \(g'(1)=2\), la tangente au point d’abscisse 1 est \(\boxed{y=2x-3}\).

  5. Une courbe concave est située sous ses tangentes. Pour tout \(x>0\), \(g(x)\leqslant 2x-3\). En prenant \(x=\gamma\), \(g(\gamma)=0\) ; donc \(0\leqslant2\gamma-3\), soit \(\boxed{\gamma\geqslant\frac32}\). (On sait même, par l’encadrement précédent, que \(\gamma>1{,}55\).)