MISSION MATHS • TERMINALE SPÉCIALITÉ

Continuité & convexité
Fiche d’exercices n° 2

Huit nouveaux problèmes pour aller plus loin : trois solutions, fonctions définies par morceaux, paramètres, logarithmes, convexité et tangentes.

8 nouveaux exercices35 questionsCorrigés dépliables3 niveaux

Une deuxième fiche, de vrais raisonnements

Cette série poursuit la fiche n° 1 avec des énoncés entièrement nouveaux. Elle travaille les raisonnements du bac : utiliser précisément le TVI, distinguer une asymptote d’une valeur atteinte, déterminer le nombre de solutions selon un paramètre et exploiter la convexité.

Les corrections sont volontairement masquées. Les tableaux de variations sont construits directement en HTML/SVG, avec des valeurs alignées et des flèches nettes, y compris sur mobile.

Travaille chaque exercice avant d’ouvrir sa correction.
EXERCICE 01TVI, variations et nombre de solutionsNiveau 1 · 25 min

Trois racines pour un même polynôme

On considère la fonction \(p\) définie sur \(\mathbb R\) par \(p(x)=x^3-3x+1\).

  1. Déterminer les limites de \(p\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
  2. Calculer \(p'(x)\), dresser le tableau de variations complet et préciser les valeurs de ses deux extremums.
  3. Démontrer, en justifiant avec le théorème des valeurs intermédiaires, que \(p(x)=0\) admet exactement trois solutions réelles. Donner trois intervalles disjoints qui les contiennent.
  4. Selon les valeurs du réel \(m\), déterminer le nombre de solutions distinctes de \(p(x)=m\).
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Correction — Exercice 1

  1. Le terme de plus haut degré étant \(x^3\), \(\lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty\) et \(\lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty\).

  2. \(p'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). La dérivée est positive sur \(]-\infty;-1[\) et \(]1;+\infty[\), négative entre \(-1\) et \(1\). On trouve \(p(-1)=3\) et \(p(1)=-1\).

    Variations : \(p\) croît de \(-\infty\) à \(3\) sur \(]-\infty;-1]\), décroît de \(3\) à \(-1\) sur \([-1;1]\), puis croît de \(-1\) à \(+\infty\).

  3. Sur chacun de ces trois intervalles, la fonction est continue et strictement monotone, et ses valeurs extrêmes sont de signes opposés : il existe donc exactement un zéro sur chacun. En outre, \(p(-2)=-1\), \(p(-1)=3\), \(p(1)=-1\) et \(p(2)=3\).

    Les trois solutions appartiennent respectivement à \(\boxed{]-2;-1[}\), \(\boxed{]-1;1[}\) et \(\boxed{]1;2[}\).

  4. Comparer le niveau horizontal \(y=m\) au minimum local \(-1\) et au maximum local \(3\) :

    \(\boxed{-13}\) : 1 solution.

EXERCICE 02Continuité, dérivabilité et convexitéNiveau 1 · 25 min

Raccorder deux expressions et obtenir une fonction convexe

Pour trois réels \(a,b,c\), on définit sur \(\mathbb R\) :

\[f(x)=\begin{cases}e^x & \text{si } x\leqslant0,\\ ax^2+bx+c & \text{si }x>0.\end{cases}\]
  1. Quelle relation entre \(a,b,c\) garantit la continuité de \(f\) en \(0\) ?
  2. Sous cette condition, quelle relation supplémentaire garantit la dérivabilité en \(0\) ?
  3. La courbe passe par le point \(A(1;4)\). Déterminer \(a,b,c\) pour que les trois conditions soient vérifiées.
  4. Justifier que la fonction ainsi obtenue est convexe sur tout \(\mathbb R\) et déterminer la tangente en \(x=0\).
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Correction — Exercice 2

  1. À gauche, \(f(0)=e^0=1\). À droite, \(\lim_{x\to0^+}f(x)=c\). La continuité équivaut donc à \(\boxed{c=1}\).
  2. Sous la condition \(c=1\), les dérivées unilatérales sont \(f'_-(0)=1\) et \(f'_+(0)=b\). La dérivabilité équivaut à \(\boxed{b=1}\).
  3. La condition \(f(1)=a+b+c=4\) impose \(a=2\). Ainsi \(\boxed{(a,b,c)=(2,1,1)}\).

  4. La dérivée vaut \(f'(x)=e^x\) pour \(x<0\), \(f'(0)=1\), puis \(f'(x)=4x+1\) pour \(x>0\). Elle est continue et strictement croissante sur \(\mathbb R\) (croissante de part et d’autre, avec raccord en \(1\)). Ainsi \(f\) est convexe sur tout \(\mathbb R\).

    Comme \(f(0)=1\) et \(f'(0)=1\), la tangente est \(\boxed{y=x+1}\).

EXERCICE 03Étude complète et deux solutionsNiveau 2 · 30 min

Un logarithme divisé par x

Soit \(g(x)=\dfrac{\ln x}{x}\), définie sur \(]0;+\infty[\).

  1. Déterminer les limites de \(g\) lorsque \(x\to0^+\) et \(x\to+\infty\).
  2. Calculer \(g'(x)\), dresser le tableau de variations de \(g\), et préciser son maximum.
  3. Justifier que l’équation \(g(x)=\dfrac14\) admet exactement deux solutions \(\alpha\) et \(\beta\).
  4. Montrer que \(\alpha\in]1;2[\) et \(\beta\in]8;9[\), puis donner une approximation de chacune à \(10^{-2}\) près.
  5. Calculer \(g''(x)\), puis préciser les intervalles de convexité et l’abscisse du point d’inflexion.
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Correction — Exercice 3

  1. \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{x}=-\infty\). À l’infini, la croissance du logarithme est négligeable devant celle de \(x\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=0\).

  2. Par quotient, \(\boxed{g'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}}\). Son signe est celui de \(1-\ln x\) : positif pour \(xe\). D’où le tableau :

    \(x\)\(0^+\)\(e\)\(+\infty\)
    \(g'(x)\)\(+\)\(0\)\(-\)
    \(g(x)\)\(-\infty\)\(\frac1e\)\(0\)

    Le maximum est \(\boxed{g(e)=\frac1e}\).

  3. On a \(0<\frac14<\frac1e\). Sur \(]0;e]\), \(g\) est continue et strictement croissante de \(-\infty\) à \(1/e\) : exactement une solution \(\alpha\). Sur \([e;+\infty[\), elle est continue et strictement décroissante de \(1/e\) vers \(0\) : exactement une seconde solution \(\beta\).

  4. \(g(1)=0<1/4\), \(g(2)=\ln2/2>1/4\), tandis que \(g(8)=\ln8/8>1/4\) et \(g(9)=\ln9/9<1/4\). Par le TVI et la stricte monotonie, \(\alpha\in]1;2[\) et \(\beta\in]8;9[\).

    À la calculatrice : \(\boxed{\alpha\approx1{,}43}\) et \(\boxed{\beta\approx8{,}61}\).

  5. \(\boxed{g''(x)=\frac{2\ln x-3}{x^3}}\). Le dénominateur étant positif, \(g''<0\) pour \(x0\) pour \(x>e^{3/2}\). Elle est donc concave puis convexe ; elle possède un point d’inflexion d’abscisse \(\boxed{e^{3/2}}\).

EXERCICE 04Polynôme du quatrième degréNiveau 2 · 25 min

Deux inflexions, deux tangentes

On considère \(q(x)=x^4-6x^2\) sur \(\mathbb R\).

  1. Calculer \(q'(x)\) et déterminer les variations de \(q\) sur \(\mathbb R\).
  2. Calculer \(q''(x)\) et étudier la convexité de \(q\).
  3. Démontrer que la courbe possède deux points d’inflexion \(A\) et \(B\) ; donner leurs coordonnées.
  4. Déterminer les équations des tangentes en \(A\) et \(B\), puis les coordonnées de leur point d’intersection.
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Correction — Exercice 4

  1. \(q'(x)=4x^3-12x=4x(x^2-3)\). Les points critiques sont \(-\sqrt3,0,\sqrt3\). Son signe est successivement \(-,+,-,+\) sur les intervalles délimités par ces points. Donc \(q\) décroît, croît, décroît, puis croît ; avec \(q(\pm\sqrt3)=-9\) et \(q(0)=0\).
  2. \(q''(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1)\). La fonction est convexe sur \(]-\infty;-1]\) et \([1;+\infty[\), concave sur \([-1;1]\).
  3. La dérivée seconde change de signe en \(-1\) et en \(1\). Or \(q(-1)=q(1)=-5\). Les points d’inflexion sont \(\boxed{A(-1;-5)}\) et \(\boxed{B(1;-5)}\).

  4. \(q'(-1)=8\) et \(q'(1)=-8\). En \(A\), \(y+5=8(x+1)\), donc \(\boxed{T_A:y=8x+3}\). En \(B\), \(y+5=-8(x-1)\), donc \(\boxed{T_B:y=-8x+3}\).

    En résolvant \(8x+3=-8x+3\), on obtient leur intersection \(\boxed{I(0;3)}\).

EXERCICE 05TVI et calcul numériqueNiveau 2 · 30 min

Une dichotomie avec un logarithme

On considère \(u(x)=x+\ln x-3\), définie sur \(]0;+\infty[\).

  1. Justifier que l’équation \(u(x)=0\) possède une unique solution \(\gamma\).
  2. Montrer que \(2<\gamma<3\).
  3. À partir de \([2;3]\), effectuer six étapes de dichotomie. Présenter un tableau avec les milieux successifs et les intervalles retenus.
  4. Préciser le nombre minimal d’étapes supplémentaires nécessaires pour que l’intervalle obtenu ait une longueur strictement inférieure à \(10^{-4}\).
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Correction — Exercice 5

  1. \(u\) est continue sur \(]0;+\infty[\), de dérivée \(u'(x)=1+1/x>0\), et \(u(x)\to-\infty\) en \(0^+\), \(u(x)\to+\infty\) en \(+\infty\). Le TVI et la stricte croissance donnent une unique racine \(\gamma\).
  2. \(u(2)=\ln2-1<0\) et \(u(3)=\ln3>0\). Ainsi \(\boxed{2<\gamma<3}\).
  3. ÉtapeMilieuSigne de \(u(m)\)Intervalle conservé
    1\(2{,}5\)\(+\)\([2;2{,}5]\)
    2\(2{,}25\)\(+\)\([2;2{,}25]\)
    3\(2{,}125\)\(-\)\([2{,}125;2{,}25]\)
    4\(2{,}1875\)\(-\)\([2{,}1875;2{,}25]\)
    5\(2{,}21875\)\(+\)\([2{,}1875;2{,}21875]\)
    6\(2{,}203125\)\(-\)\(\boxed{[2{,}203125;2{,}21875]}\)

    La racine vaut environ \(\gamma\approx2{,}20794\).

  4. Après un total de \(n\) étapes, l’amplitude est \(2^{-n}\). Il faut \(2^{-n}<10^{-4}\) : \(2^{-13}>10^{-4}\) et \(2^{-14}<10^{-4}\). Il faut donc 14 étapes au total, soit \(\boxed{8\text{ étapes supplémentaires}}\).
EXERCICE 06Tangente et cordeNiveau 2 · 25 min

Du logarithme à la moyenne géométrique

On considère \(\ell(x)=\ln x\), définie sur \(]0;+\infty[\).

  1. À l’aide de \(\ell''(x)\), étudier la convexité ou la concavité de \(\ell\).
  2. Déterminer l’équation de la tangente à sa courbe en \(x=1\), puis démontrer que \(\ln x\leqslant x-1\) pour tout \(x>0\).
  3. Soient \(a,b>0\). Utiliser la position de la courbe par rapport à la corde joignant les points d’abscisses \(a\) et \(b\) pour prouver que \(\ln\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\geqslant\frac{\ln a+\ln b}{2}\).
  4. En déduire l’inégalité arithmético-géométrique \(\boxed{\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}}\) et discuter le cas d’égalité.
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Correction — Exercice 6

  1. \(\ell'(x)=1/x\) et \(\ell''(x)=-1/x^2<0\) sur \(]0;+\infty[\) : \(\ell\) est strictement concave.
  2. \(\ell(1)=0\) et \(\ell'(1)=1\), donc la tangente a pour équation \(\boxed{y=x-1}\). La courbe d’une fonction concave étant sous ses tangentes, \(\boxed{\ln x\leqslant x-1}\), avec égalité seulement pour \(x=1\).

  3. La courbe d’une fonction concave est au-dessus de ses cordes. Au milieu des abscisses \(a\) et \(b\), on obtient :

    \[\boxed{\ln\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\geqslant\frac12\ln a+\frac12\ln b}.\]

  4. En multipliant par 2 puis en exponentiant, fonction strictement croissante :

    \[\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\geqslant ab\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}}.\]

    Par stricte concavité, l’égalité a lieu si et seulement si \(\boxed{a=b}\).

EXERCICE 07Exponentielle et paramètreNiveau 3 · 30 min

Combien de solutions suivant le niveau ?

Sur \(\mathbb R\), on considère \(k(x)=(x-1)e^{-x}\). Pour tout réel \(\lambda\), on cherche le nombre de solutions de l’équation \(k(x)=\lambda\).

  1. Calculer \(k'(x)\) et déterminer les variations de \(k\).
  2. Déterminer les limites de \(k\) en \(\pm\infty\) et dresser le tableau de variations complet.
  3. Selon la valeur de \(\lambda\), donner le nombre exact de solutions distinctes de \(k(x)=\lambda\), y compris le cas \(\lambda=0\).
  4. Calculer \(k''(x)\), puis les coordonnées du point d’inflexion de la courbe.
  5. Déterminer l’équation de la tangente en ce point d’inflexion.
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Correction — Exercice 7

  1. \(\boxed{k'(x)=(2-x)e^{-x}}\). L’exponentielle est positive, donc \(k\) croît pour \(x<2\) puis décroît pour \(x>2\).

  2. \(\lim_{x\to-\infty}(x-1)e^{-x}=-\infty\), et \(\lim_{x\to+\infty}k(x)=0^+\). Son maximum vaut \(k(2)=e^{-2}\).

    \(x\)\(-\infty\)\(2\)\(+\infty\)
    \(k'(x)\)\(+\)\(0\)\(-\)
    \(k(x)\)\(-\infty\)\(e^{-2}\)\(0\)

  3. La branche croissante couvre \(]-\infty;e^{-2}]\), tandis que la branche décroissante couvre \(]0;e^{-2}]\). Par conséquent :

    Si \(\lambda<0\), une solution ; si \(\lambda=0\), une solution (\(x=1\)) ; si \(0<\lambdadeux solutions ; si \(\lambda=e^{-2}\), une solution (\(x=2\)) ; si \(\lambda>e^{-2}\), aucune solution.

    Attention : \(0\) est une limite en \(+\infty\), pas une valeur atteinte par la branche décroissante.

  4. \(\boxed{k''(x)=(x-3)e^{-x}}\). Elle change de signe en 3, donc le point d’inflexion est \(\boxed{I(3;2e^{-3})}\).
  5. \(k'(3)=-e^{-3}\), donc \(y-2e^{-3}=-e^{-3}(x-3)\), soit \(\boxed{y=(5-x)e^{-3}}\).
EXERCICE 08Étude logarithmique de niveau bacNiveau 3 · 35 min

Un minimum et deux solutions

On considère la fonction \(h(x)=x^2-2\ln x\), définie sur \(]0;+\infty[\).

  1. Déterminer les limites de \(h\) aux bornes de son intervalle de définition.
  2. Calculer \(h'(x)\), puis dresser le tableau de variations et déterminer le minimum global.
  3. Calculer \(h''(x)\) et en déduire une inégalité valable pour tout \(x>0\), à partir de la tangente au point de minimum.
  4. Justifier que l’équation \(h(x)=4\) admet exactement deux solutions, notées \(\alpha<\beta\).
  5. Montrer que \(0{,}1<\alpha<0{,}2\) et \(2<\beta<3\). Décrire le signe de \(h(x)-4\) sur \(]0;+\infty[\).
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Correction — Exercice 8

  1. Quand \(x\to0^+\), \(x^2\to0\) et \(-2\ln x\to+\infty\). Quand \(x\to+\infty\), \(x^2\) l’emporte sur \(2\ln x\). Ainsi les deux limites valent \(\boxed{+\infty}\).

  2. \(h'(x)=2x-2/x=2(x^2-1)/x\). Son signe est négatif sur \(]0;1[\), nul en 1, positif sur \(]1;+\infty[\).

    \(x\)\(0^+\)\(1\)\(+\infty\)
    \(h'(x)\)\(-\)\(0\)\(+\)
    \(h(x)\)\(+\infty\)\(1\)\(+\infty\)

    Le minimum global est \(\boxed{h(1)=1}\).

  3. \(h''(x)=2+2/x^2>0\) : \(h\) est strictement convexe. Sa tangente en 1 est horizontale d’équation \(y=1\). La courbe est au-dessus : \(\boxed{x^2-2\ln x\geqslant1}\), avec égalité seulement en \(x=1\).

  4. Sur \(]0;1]\), \(h\) est continue et strictement décroissante de \(+\infty\) à 1 ; sur \([1;+\infty[\), continue et strictement croissante de 1 à \(+\infty\). Comme \(4>1\), le TVI donne exactement deux solutions : \(\alpha<1<\beta\).

  5. \(h(0{,}1)=0{,}01-2\ln(0{,}1)>4\) et \(h(0{,}2)=0{,}04-2\ln(0{,}2)<4\), d’où \(\boxed{0{,}1<\alpha<0{,}2}\). Par ailleurs \(h(2)=4-2\ln2<4\) et \(h(3)=9-2\ln3>4\), donc \(\boxed{2<\beta<3}\).

    \(h(x)-4>0\) sur \(]0;\alpha[\cup]\beta;+\infty[\), vaut zéro en \(\alpha\) et \(\beta\), et est négatif sur \(]\alpha;\beta[\).