Objectif : consolider les automatismes indispensables : limites usuelles, opérations, polynômes, fractions rationnelles et premières formes indéterminées.
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A. Limites usuelles et automatismes
1
Puissances de x
Déterminer : \(\lim_{x\to+\infty}x^2\), \(\lim_{x\to-\infty}x^3\), \(\lim_{x\to-\infty}x^4\) et \(\lim_{x\to+\infty}x^7\).
Afficher la correction
À \(+\infty\), toute puissance positive de \(x\) tend vers \(+\infty\). À \(-\infty\), une puissance paire tend vers \(+\infty\) et une puissance impaire vers \(-\infty\).
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty},\quad
\boxed{\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty},\quad
\boxed{\lim_{x\to-\infty}x^4=+\infty},\quad
\boxed{\lim_{x\to+\infty}x^7=+\infty}.
\]
2
Fonctions inverses
Déterminer : \(\lim_{x\to+\infty}\frac1x\), \(\lim_{x\to-\infty}\frac1{x^2}\) et \(\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^5}\).
Afficher la correction
Lorsque \(|x|\) devient arbitrairement grand, ces inverses tendent vers \(0\).
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0},\quad
\boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac1{x^2}=0},\quad
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^5}=0}.
\]
3
Exponentielle
Déterminer : \(\lim_{x\to+\infty}e^x\), \(\lim_{x\to-\infty}e^x\) et \(\lim_{x\to+\infty}e^{-x}\).
Afficher la correction
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty},\qquad
\boxed{\lim_{x\to-\infty}e^x=0}.
\]
Pour la dernière limite, \(\lim_{x\to+\infty}(-x)=-\infty\) et \(\lim_{X\to-\infty}e^X=0\). Donc, par composition :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0}.
\]
B. Opérations sur les limites
4
Sommes
Déterminer :
\[
\text{a. }\lim_{x\to+\infty}\left(4x^2+\frac3x\right)
\qquad
\text{b. }\lim_{x\to-\infty}(x^3-5x^2).
\]
Afficher la correction
a. \(4x^2\to+\infty\) et \(\frac3x\to0\). Donc, par somme :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(4x^2+\frac3x\right)=+\infty}.
\]
b. \(x^3\to-\infty\) et \(-5x^2\to-\infty\). Donc, par somme :
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}(x^3-5x^2)=-\infty}.
\]
5
Produits
Déterminer :
\[
\text{a. }\lim_{x\to+\infty}(2x-1)(x^2+3)
\qquad
\text{b. }\lim_{x\to-\infty}(x-4)(x^2+1).
\]
Afficher la correction
a. Les deux facteurs tendent vers \(+\infty\), donc
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(2x-1)(x^2+3)=+\infty}.
\]
b. \(x-4\to-\infty\) et \(x^2+1\to+\infty\), donc
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}(x-4)(x^2+1)=-\infty}.
\]
6
Quotients
Déterminer :
\[
\text{a. }\lim_{x\to+\infty}\frac{5x+2}{x^2+1}
\qquad
\text{b. }\lim_{x\to+\infty}\frac7{3x^2+4}.
\]
Afficher la correction
a. En divisant numérateur et dénominateur par \(x^2\) :
\[
\frac{5x+2}{x^2+1}=\frac{\frac5x+\frac2{x^2}}{1+\frac1{x^2}}\longrightarrow\frac01=0.
\]
Ainsi \(\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{5x+2}{x^2+1}=0}\).
Pour b., \(3x^2+4\to+\infty\), donc \(\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac7{3x^2+4}=0}\).
C. Polynômes : repérer le terme dominant
7
Polynômes à +∞
Déterminer :
\[
\text{a. }\lim_{x\to+\infty}(3x^4-7x^2+2x-5)
\qquad
\text{b. }\lim_{x\to+\infty}(-2x^5+9x^3-x+4).
\]
Afficher la correction
Un polynôme a, à l'infini, la même limite que son terme de plus haut degré. Ainsi :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(3x^4-7x^2+2x-5)=+\infty}
\]
et
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(-2x^5+9x^3-x+4)=-\infty}.
\]
8
Polynômes à −∞
Déterminer :
\[
\text{a. }\lim_{x\to-\infty}(5x^3-2x^2+7)
\qquad
\text{b. }\lim_{x\to-\infty}(-4x^4+3x-1).
\]
Afficher la correction
Les termes dominants sont \(5x^3\) et \(-4x^4\). Donc :
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}(5x^3-2x^2+7)=-\infty}
\]
et
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}(-4x^4+3x-1)=-\infty}.
\]
9
Factoriser pour justifier
Déterminer en factorisant par la plus grande puissance de \(x\) :
\[
\lim_{x\to+\infty}(2x^3-5x^2+4x-7).
\]
Afficher la correction
\[
2x^3-5x^2+4x-7=x^3\left(2-\frac5x+\frac4{x^2}-\frac7{x^3}\right).
\]
Le premier facteur tend vers \(+\infty\), le second vers \(2\). Donc, par produit :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(2x^3-5x^2+4x-7)=+\infty}.
\]
10
Première forme indéterminée
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}(x^2-6x).
\]
Afficher la correction
La lecture terme à terme donne la forme indéterminée \(+\infty-\infty\). On factorise :
\[
x^2-6x=x(x-6).
\]
Les deux facteurs tendent vers \(+\infty\). Donc, par produit :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(x^2-6x)=+\infty}.
\]
D. Fractions rationnelles
11
Fraction rationnelle : même degré
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{6x^2-3x+1}{2x^2+5x-4}.
\]
Afficher la correction
On divise par \(x^2\) :
\[
\frac{6-\frac3x+\frac1{x^2}}{2+\frac5x-\frac4{x^2}}\longrightarrow\frac62=3.
\]
Donc :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{6x^2-3x+1}{2x^2+5x-4}=3}.
\]
12
Degré du numérateur plus petit
Déterminer :
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{4x-7}{x^2+3}.
\]
Afficher la correction
En divisant par \(x^2\) :
\[
\frac{4x-7}{x^2+3}=\frac{\frac4x-\frac7{x^2}}{1+\frac3{x^2}}\longrightarrow0.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{4x-7}{x^2+3}=0}.
\]
13
Degré du numérateur plus grand
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x^4+2x}{x^2-5}.
\]
Afficher la correction
À l'infini, on étudie le quotient des termes dominants :
\[
\frac{-3x^4}{x^2}=-3x^2.
\]
Or \(\lim_{x\to+\infty}(-3x^2)=-\infty\). Donc :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x^4+2x}{x^2-5}=-\infty}.
\]
14
Attention au signe à −∞
Déterminer :
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3-5x+1}{x^2+4}.
\]
Afficher la correction
Le quotient des termes dominants est
\[
\frac{2x^3}{x^2}=2x.
\]
Comme \(\lim_{x\to-\infty}2x=-\infty\), on obtient :
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3-5x+1}{x^2+4}=-\infty}.
\]
15
Exercice bilan
Déterminer les limites suivantes en indiquant la méthode utilisée :
\[
\text{a. }\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^3-x+2}{x^3+4x}\qquad
\text{b. }\lim_{x\to-\infty}(-2x^5+7x^2-1)
\]
\[
\text{c. }\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+1}{4x^3-2}\qquad
\text{d. }\lim_{x\to+\infty}(5x^2-3x).
\]
Afficher la correction
a. Même degré : quotient des termes dominants, donc
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^3-x+2}{x^3+4x}=3}.
\]
b. Le terme dominant est \(-2x^5\), qui tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\to-\infty\) :
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}(-2x^5+7x^2-1)=+\infty}.
\]
c. Le degré du dénominateur est supérieur :
\[
\frac{x^2+1}{4x^3-2}=\frac{\frac1x+\frac1{x^3}}{4-\frac2{x^3}},
\]
donc \(\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+1}{4x^3-2}=0}\).
d. On factorise \(5x^2-3x=x(5x-3)\). Les deux facteurs tendent vers \(+\infty\), donc
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(5x^2-3x)=+\infty}.
\]