Objectif : reconnaître une forme indéterminée puis choisir une transformation adaptée pour la lever. La difficulté augmente progressivement jusqu’à un exercice bilan mêlant plusieurs techniques.
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A. Identifier les formes indéterminées
1
Repérer une forme indéterminée
Pour chacune des limites suivantes, indiquer d’abord si l’expression conduit à une forme indéterminée, sans chercher à la calculer.
\[
\text{a. }\lim_{x\to+\infty}(x^2-3x)\qquad
\text{b. }\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+1}{x^2-4}
\]
\[
\text{c. }\lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x^2+3}\qquad
\text{d. }\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+1}-x).
\]
Afficher la correction
a. \(x^2\to+\infty\) et \(3x\to+\infty\) : forme \(+\infty-\infty\), indéterminée.
b. Numérateur et dénominateur tendent vers \(+\infty\) : forme \(\frac{\infty}{\infty}\), indéterminée.
c. Numérateur et dénominateur tendent vers \(+\infty\) : forme \(\frac{\infty}{\infty}\), indéterminée, même si la limite sera ensuite facile à lever.
d. Les deux termes tendent vers \(+\infty\) : forme \(+\infty-\infty\), indéterminée.
b. Numérateur et dénominateur tendent vers \(+\infty\) : forme \(\frac{\infty}{\infty}\), indéterminée.
c. Numérateur et dénominateur tendent vers \(+\infty\) : forme \(\frac{\infty}{\infty}\), indéterminée, même si la limite sera ensuite facile à lever.
d. Les deux termes tendent vers \(+\infty\) : forme \(+\infty-\infty\), indéterminée.
B. Lever une indétermination par factorisation
2
Factorisation simple
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}(x^2-7x).
\]
Afficher la correction
La lecture directe donne \(+\infty-\infty\). On factorise :
\[
x^2-7x=x(x-7).
\]
Or \(x\to+\infty\) et \(x-7\to+\infty\). Donc, par produit :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(x^2-7x)=+\infty}.
\]
3
Factoriser par la puissance dominante
Déterminer :
\[
\lim_{x\to-\infty}(3x^4+5x^3-2x).
\]
Afficher la correction
On factorise par \(x^4\) :
\[
3x^4+5x^3-2x=x^4\left(3+\frac5x-\frac2{x^3}\right).
\]
Lorsque \(x\to-\infty\), \(x^4\to+\infty\) et
\[
3+\frac5x-\frac2{x^3}\to3.
\]
Donc, par produit :
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}(3x^4+5x^3-2x)=+\infty}.
\]
4
Différence de deux polynômes
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left[(2x^3-x+1)-(2x^3-5x^2+4)\right].
\]
Afficher la correction
Écrire séparément les limites donnerait \(+\infty-\infty\). On simplifie d’abord :
\[
(2x^3-x+1)-(2x^3-5x^2+4)=5x^2-x-3.
\]
Le terme dominant est \(5x^2\). Ainsi :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(5x^2-x-3)=+\infty}.
\]
C. Quotients et termes dominants
5
Quotient : même degré
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^2-3x+7}{2x^2+x-4}.
\]
Afficher la correction
La forme est \(\frac{\infty}{\infty}\). On divise par \(x^2\) :
\[
\frac{5-\frac3x+\frac7{x^2}}{2+\frac1x-\frac4{x^2}}.
\]
Le numérateur tend vers \(5\) et le dénominateur vers \(2\neq0\). Donc, par quotient :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^2-3x+7}{2x^2+x-4}=\frac52}.
\]
6
Quotient : degré du numérateur inférieur
Déterminer :
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^2+1}{x^3-4x}.
\]
Afficher la correction
On divise numérateur et dénominateur par \(x^3\) :
\[
\frac{\frac3x+\frac1{x^3}}{1-\frac4{x^2}}.
\]
Le numérateur tend vers \(0\) et le dénominateur vers \(1\). Donc :
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^2+1}{x^3-4x}=0}.
\]
7
Quotient : degré du numérateur supérieur
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^4-x+2}{2x^2+3}.
\]
Afficher la correction
Le quotient des termes dominants vaut
\[
\frac{4x^4}{2x^2}=2x^2.
\]
Or \(\lim_{x\to+\infty}2x^2=+\infty\). Donc :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^4-x+2}{2x^2+3}=+\infty}.
\]
D. Formes 0/0 au voisinage d’un réel
8
Simplifier avant de passer à la limite
Déterminer :
\[
\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}.
\]
Afficher la correction
La substitution donne \(\frac00\), forme indéterminée. Pour \(x\neq3\),
\[
\frac{x^2-9}{x-3}
=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=6}.
\]
9
Une autre forme \(0/0\)
Déterminer :
\[
\lim_{x\to2}\frac{x^2+x-6}{x-2}.
\]
Afficher la correction
La substitution donne \(\frac00\). On factorise :
\[
x^2+x-6=(x-2)(x+3).
\]
Pour \(x\neq2\),
\[
\frac{x^2+x-6}{x-2}=x+3.
\]
Donc :
\[
\boxed{\lim_{x\to2}\frac{x^2+x-6}{x-2}=5}.
\]
10
Factorisation au numérateur et au dénominateur
Déterminer :
\[
\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}.
\]
Afficher la correction
La substitution donne \(\frac00\). Or
\[
x^2-1=(x-1)(x+1)
\]
et
\[
x^2-3x+2=(x-1)(x-2).
\]
Pour \(x\neq1\),
\[
\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}=\frac{x+1}{x-2}.
\]
Le dénominateur tend vers \(-1\neq0\). Donc :
\[
\boxed{\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}=-2}.
\]
E. Utiliser une quantité conjuguée
11
Quantité conjuguée
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+5}-x\right).
\]
Afficher la correction
On obtient \(+\infty-\infty\). On multiplie par la quantité conjuguée :
\[
\sqrt{x^2+5}-x
=\frac{(\sqrt{x^2+5}-x)(\sqrt{x^2+5}+x)}{\sqrt{x^2+5}+x}
=\frac5{\sqrt{x^2+5}+x}.
\]
Le dénominateur tend vers \(+\infty\). Donc :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+5}-x\right)=0}.
\]
12
Conjuguée : une limite non nulle
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right).
\]
Afficher la correction
La forme est \(+\infty-\infty\). Avec la quantité conjuguée :
\[
\sqrt{x^2+6x}-x
=\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}.
\]
Comme \(x>0\) au voisinage de \(+\infty\),
\[
\sqrt{x^2+6x}=x\sqrt{1+\frac6x}.
\]
Ainsi
\[
\sqrt{x^2+6x}-x
=\frac6{\sqrt{1+\frac6x}+1}.
\]
Or \(\frac6x\to0\), donc \(1+\frac6x\to1\). Comme \(\lim_{X\to1}\sqrt X=1\), par composition :
\[
\sqrt{1+\frac6x}\to1.
\]
Par quotient :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)=3}.
\]
13
Conjuguée au voisinage d’un réel
Déterminer :
\[
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}.
\]
Afficher la correction
La substitution donne \(\frac00\). On multiplie par la quantité conjuguée :
\[
\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}
\times\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}
=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}.
\]
Lorsque \(x\to0\), \(\sqrt{1+x}\to1\). Donc :
\[
\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac12}.
\]
F. Choisir la bonne méthode
14
Choisir la bonne technique
Déterminer les trois limites suivantes. Pour chacune, préciser la technique choisie.
\[
\text{a. }\lim_{x\to+\infty}(4x^3-7x^2)
\]
\[
\text{b. }\lim_{x\to4}\frac{x^2-16}{x-4}
\]
\[
\text{c. }\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+8x}-x\right).
\]
Afficher la correction
a. Factorisation :
\[
4x^3-7x^2=x^2(4x-7),
\]
donc
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(4x^3-7x^2)=+\infty}.
\]
b. Factorisation et simplification :
\[
\frac{x^2-16}{x-4}=x+4\quad(x\neq4),
\]
donc
\[
\boxed{\lim_{x\to4}\frac{x^2-16}{x-4}=8}.
\]
c. Quantité conjuguée :
\[
\sqrt{x^2+8x}-x
=\frac8{\sqrt{1+\frac8x}+1},
\]
donc
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+8x}-x\right)=4}.
\]
15
Exercice bilan
Déterminer, en rédigeant soigneusement, les limites suivantes :
\[
\text{a. }\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-5x+1}{x^3+4x^2-2}
\]
\[
\text{b. }\lim_{x\to-2}\frac{x^2+5x+6}{x+2}
\]
\[
\text{c. }\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{4x^2+3x}-2x\right)
\]
\[
\text{d. }\lim_{x\to+\infty}(3x^4-2x^3).
\]
Afficher la correction
a. On divise par \(x^3\) :
\[
\frac{2-\frac5{x^2}+\frac1{x^3}}{1+\frac4x-\frac2{x^3}}\longrightarrow2,
\]
donc
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-5x+1}{x^3+4x^2-2}=2}.
\]
b. \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). Pour \(x\neq-2\), le quotient vaut \(x+3\). Donc :
\[
\boxed{\lim_{x\to-2}\frac{x^2+5x+6}{x+2}=1}.
\]
c. On utilise la quantité conjuguée :
\[
\sqrt{4x^2+3x}-2x
=\frac{3x}{\sqrt{4x^2+3x}+2x}.
\]
Comme \(x>0\) au voisinage de \(+\infty\),
\[
=\frac3{\sqrt{4+\frac3x}+2}.
\]
Or \(\frac3x\to0\), donc \(4+\frac3x\to4\). Comme \(\lim_{X\to4}\sqrt X=2\), par composition,
\[
\sqrt{4+\frac3x}\to2.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{4x^2+3x}-2x\right)=\frac34}.
\]
d. On factorise :
\[
3x^4-2x^3=x^3(3x-2).
\]
Les deux facteurs tendent vers \(+\infty\). Donc :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(3x^4-2x^3)=+\infty}.
\]