Objectif : interpréter une limite au voisinage d’un réel, déterminer des asymptotes, calculer des limites par composition et mobiliser les théorèmes de comparaison et des gendarmes.
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A. Limites en un réel et limites latérales
1
Limite en un réel : lecture du signe
Déterminer :
\[
\lim_{x\to2^-}\frac1{x-2}
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to2^+}\frac1{x-2}.
\]
Afficher la correction
Lorsque \(x\to2^-\), \(x-2\to0^-\), donc
\[
\boxed{\lim_{x\to2^-}\frac1{x-2}=-\infty}.
\]
Lorsque \(x\to2^+\), \(x-2\to0^+\), donc
\[
\boxed{\lim_{x\to2^+}\frac1{x-2}=+\infty}.
\]
2
Carré au dénominateur
Déterminer :
\[
\lim_{x\to-1}\frac{3}{(x+1)^2}.
\]
Afficher la correction
Lorsque \(x\to-1\), \((x+1)^2\to0\) en restant strictement positif. Le numérateur vaut \(3>0\). Donc :
\[
\boxed{\lim_{x\to-1}\frac3{(x+1)^2}=+\infty}.
\]
La limite est la même à gauche et à droite.
3
Étudier les deux côtés
Déterminer les limites à gauche et à droite de \(3\) de
\[
f(x)=\frac{x+1}{x-3}.
\]
Afficher la correction
Le numérateur tend vers \(4>0\).
Si \(x\to3^-\), \(x-3\to0^-\), donc \[ \boxed{\lim_{x\to3^-}\frac{x+1}{x-3}=-\infty}. \] Si \(x\to3^+\), \(x-3\to0^+\), donc \[ \boxed{\lim_{x\to3^+}\frac{x+1}{x-3}=+\infty}. \]
Si \(x\to3^-\), \(x-3\to0^-\), donc \[ \boxed{\lim_{x\to3^-}\frac{x+1}{x-3}=-\infty}. \] Si \(x\to3^+\), \(x-3\to0^+\), donc \[ \boxed{\lim_{x\to3^+}\frac{x+1}{x-3}=+\infty}. \]
B. Asymptotes
4
Reconnaître une asymptote verticale
Soit
\[
f(x)=\frac{2x-1}{x+4}.
\]
Étudier les limites de \(f\) lorsque \(x\to-4^-\) et \(x\to-4^+\), puis interpréter graphiquement.
Afficher la correction
Le numérateur tend vers \(-9<0\).
Lorsque \(x\to-4^-\), \(x+4\to0^-\), donc \[ \boxed{\lim_{x\to-4^-}f(x)=+\infty}. \] Lorsque \(x\to-4^+\), \(x+4\to0^+\), donc \[ \boxed{\lim_{x\to-4^+}f(x)=-\infty}. \] Ainsi, la droite \[ \boxed{x=-4} \] est une asymptote verticale à la courbe de \(f\).
Lorsque \(x\to-4^-\), \(x+4\to0^-\), donc \[ \boxed{\lim_{x\to-4^-}f(x)=+\infty}. \] Lorsque \(x\to-4^+\), \(x+4\to0^+\), donc \[ \boxed{\lim_{x\to-4^+}f(x)=-\infty}. \] Ainsi, la droite \[ \boxed{x=-4} \] est une asymptote verticale à la courbe de \(f\).
5
Asymptote horizontale
Soit
\[
f(x)=\frac{3x+5}{x-2}.
\]
Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), puis donner une éventuelle asymptote horizontale.
Afficher la correction
Le numérateur et le dénominateur sont de même degré. Le quotient des termes dominants vaut \(3\). Ainsi :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{3x+5}{x-2}=3}
\]
et
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{3x+5}{x-2}=3}.
\]
La courbe admet donc l'asymptote horizontale
\[
\boxed{y=3}.
\]
6
Deux asymptotes
Soit
\[
f(x)=\frac{2x+3}{x-1}.
\]
Déterminer les limites utiles et en déduire les asymptotes de la courbe.
Afficher la correction
Au voisinage de \(1\), le numérateur tend vers \(5>0\). Donc :
\[
\boxed{\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty},
\qquad
\boxed{\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty}.
\]
Ainsi, \(x=1\) est une asymptote verticale.
À l'infini, le quotient des termes dominants vaut \(2\) : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=2}, \qquad \boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=2}. \] Ainsi, \(y=2\) est une asymptote horizontale.
À l'infini, le quotient des termes dominants vaut \(2\) : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=2}, \qquad \boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=2}. \] Ainsi, \(y=2\) est une asymptote horizontale.
C. Composition de limites
7
Composition simple
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}e^{-2x+3}.
\]
Afficher la correction
On commence par la fonction intérieure :
\[
\lim_{x\to+\infty}(-2x+3)=-\infty.
\]
D'autre part,
\[
\lim_{X\to-\infty}e^X=0.
\]
Donc, par composition :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}e^{-2x+3}=0}.
\]
8
Composition avec une racine carrée
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{4+\frac3x}.
\]
Afficher la correction
On a
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(4+\frac3x\right)=4.
\]
De plus,
\[
\lim_{X\to4}\sqrt X=2.
\]
Donc, par composition :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\sqrt{4+\frac3x}=2}.
\]
9
Composition puis opération
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(3-e^{-x}\right).
\]
Afficher la correction
D'abord,
\[
\lim_{x\to+\infty}(-x)=-\infty.
\]
Or
\[
\lim_{X\to-\infty}e^X=0.
\]
Donc, par composition,
\[
\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0.
\]
Finalement, par différence :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(3-e^{-x})=3}.
\]
D. Théorèmes de comparaison et des gendarmes
10
Théorème de comparaison
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(x^2-5x\sin x\right).
\]
Afficher la correction
Comme
\[
-1\leq\sin x\leq1,
\]
on a
\[
-5x\sin x\geq-5x
\]
pour \(x>0\). Ainsi
\[
x^2-5x\sin x\geq x^2-5x=x(x-5).
\]
Or
\[
\lim_{x\to+\infty}x(x-5)=+\infty.
\]
D'après le théorème de comparaison :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(x^2-5x\sin x)=+\infty}.
\]
11
Théorème des gendarmes
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}.
\]
Afficher la correction
On sait que
\[
-1\leq\sin x\leq1.
\]
Pour \(x>0\),
\[
-\frac1x\leq\frac{\sin x}{x}\leq\frac1x.
\]
Or
\[
\lim_{x\to+\infty}-\frac1x=0
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0.
\]
D'après le théorème des gendarmes :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0}.
\]
12
Comparaison avec une puissance
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(x^3+4x^2\cos x\right).
\]
Afficher la correction
Puisque \(-1\leq\cos x\leq1\), pour \(x>0\),
\[
4x^2\cos x\geq-4x^2.
\]
Donc
\[
x^3+4x^2\cos x\geq x^3-4x^2=x^2(x-4).
\]
Or
\[
\lim_{x\to+\infty}x^2(x-4)=+\infty.
\]
D'après le théorème de comparaison :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(x^3+4x^2\cos x)=+\infty}.
\]
E. Exercice bilan
13
Exercice bilan
Soit
\[
f(x)=\frac{x+2}{x-2}.
\]
1. Déterminer les limites de \(f\) en \(2^-\) et en \(2^+\).
2. Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
3. En déduire toutes les asymptotes à la courbe de \(f\).
2. Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
3. En déduire toutes les asymptotes à la courbe de \(f\).
Afficher la correction
1. Le numérateur tend vers \(4>0\). Ainsi :
\[
\boxed{\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty},
\qquad
\boxed{\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty}.
\]
Donc \(x=2\) est une asymptote verticale.
2. À l'infini, numérateur et dénominateur ont le même degré et le quotient des coefficients dominants vaut \(1\) : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=1}, \qquad \boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=1}. \] Donc \(y=1\) est une asymptote horizontale.
3. Les asymptotes sont donc : \[ \boxed{x=2\quad\text{et}\quad y=1}. \]
2. À l'infini, numérateur et dénominateur ont le même degré et le quotient des coefficients dominants vaut \(1\) : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=1}, \qquad \boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=1}. \] Donc \(y=1\) est une asymptote horizontale.
3. Les asymptotes sont donc : \[ \boxed{x=2\quad\text{et}\quad y=1}. \]