Objectif : maîtriser les nouvelles formules de dérivation, étudier le signe d’une dérivée et en déduire les variations et les extremums d’une fonction.
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A. Dériver des fonctions composées
1
Dériver une composée affine
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
\[
\text{a. }f(x)=e^{3x-2}\qquad
\text{b. }g(x)=e^{-4x+1}
\]
\[
\text{c. }h(x)=(2x+5)^4\qquad
\text{d. }k(x)=\sqrt{5x+6}.
\]
Afficher la correction
On utilise \((e^u)'=u'e^u\), \((u^n)'=nu'u^{n-1}\) et \((\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}\). Ainsi :
\[
\boxed{f'(x)=3e^{3x-2}},\qquad
\boxed{g'(x)=-4e^{-4x+1}},
\]
\[
\boxed{h'(x)=8(2x+5)^3},
\qquad
\boxed{k'(x)=\frac5{2\sqrt{5x+6}}}.
\]
2
Puissances de fonctions
Calculer les dérivées :
\[
\text{a. }f(x)=(x^2+1)^3
\]
\[
\text{b. }g(x)=(3x^2-2x+4)^5.
\]
Afficher la correction
Pour \(f\), on pose \(u(x)=x^2+1\), donc \(u'(x)=2x\). Ainsi :
\[
f'(x)=3\times2x(x^2+1)^2,
\]
d'où
\[
\boxed{f'(x)=6x(x^2+1)^2}.
\]
Pour \(g\), \(u(x)=3x^2-2x+4\) et \(u'(x)=6x-2\). Donc :
\[
\boxed{g'(x)=5(6x-2)(3x^2-2x+4)^4}.
\]
3
Exponentielle composée
Calculer les dérivées :
\[
\text{a. }f(x)=e^{x^2-3x}
\qquad
\text{b. }g(x)=e^{2x^3+1}.
\]
Afficher la correction
Avec \((e^u)'=u'e^u\) :
\[
u(x)=x^2-3x,\quad u'(x)=2x-3,
\]
donc
\[
\boxed{f'(x)=(2x-3)e^{x^2-3x}}.
\]
De même, \(v(x)=2x^3+1\) et \(v'(x)=6x^2\), donc
\[
\boxed{g'(x)=6x^2e^{2x^3+1}}.
\]
4
Racine carrée composée
Soit
\[
f(x)=\sqrt{x^2+4}.
\]
1. Justifier que \(f\) est définie sur \(\mathbb R\).
2. Calculer \(f'(x)\).
2. Calculer \(f'(x)\).
Afficher la correction
1. Pour tout réel \(x\),
\[
x^2+4>0.
\]
La fonction est donc définie sur \(\mathbb R\).
2. Avec \(u(x)=x^2+4\), on a \(u'(x)=2x\). Donc : \[ f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}, \] soit \[ \boxed{f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}. \]
2. Avec \(u(x)=x^2+4\), on a \(u'(x)=2x\). Donc : \[ f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}, \] soit \[ \boxed{f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}. \]
B. Signe de la dérivée et variations
5
Étudier le signe d'une dérivée
Soit
\[
f(x)=e^{x^2-4x}.
\]
1. Calculer \(f'(x)\).
2. Étudier le signe de \(f'(x)\).
3. En déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).
2. Étudier le signe de \(f'(x)\).
3. En déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).
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On a :
\[
f'(x)=(2x-4)e^{x^2-4x}=2(x-2)e^{x^2-4x}.
\]
Comme \(e^{x^2-4x}>0\) pour tout \(x\), \(f'(x)\) a le signe de \(x-2\). Ainsi :
\[
f'(x)<0\text{ si }x<2,\qquad f'(2)=0,\qquad f'(x)>0\text{ si }x>2.
\]
Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty,2]\), puis croissante sur \([2,+\infty[\). De plus :
\[
f(2)=e^{-4}.
\]
Ainsi \(f\) admet en \(2\) un minimum égal à
\[
\boxed{e^{-4}}.
\]
6
Variations d'une puissance composée
Soit
\[
f(x)=(x^2-2x+3)^3.
\]
1. Calculer \(f'(x)\).
2. Étudier son signe.
3. Dresser les variations de \(f\).
2. Étudier son signe.
3. Dresser les variations de \(f\).
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On obtient :
\[
f'(x)=3(2x-2)(x^2-2x+3)^2
=6(x-1)(x^2-2x+3)^2.
\]
Or
\[
x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0,
\]
donc son carré est strictement positif. Le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x-1\).
Ainsi \(f\) décroît sur \(]-\infty,1]\), puis croît sur \([1,+\infty[\). Enfin : \[ f(1)=2^3=8. \] Le minimum de \(f\) vaut donc \[ \boxed{8}. \]
Ainsi \(f\) décroît sur \(]-\infty,1]\), puis croît sur \([1,+\infty[\). Enfin : \[ f(1)=2^3=8. \] Le minimum de \(f\) vaut donc \[ \boxed{8}. \]
7
Variations avec une racine
Soit
\[
f(x)=\sqrt{x^2-4x+5}.
\]
1. Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbb R\).
2. Calculer \(f'(x)\).
3. Étudier les variations de \(f\).
2. Calculer \(f'(x)\).
3. Étudier les variations de \(f\).
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On écrit :
\[
x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0.
\]
Ainsi \(f\) est définie sur \(\mathbb R\). Puis :
\[
f'(x)=\frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+5}}
=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}.
\]
Le dénominateur est strictement positif. Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(x-2\).
Ainsi \(f\) décroît sur \(]-\infty,2]\), puis croît sur \([2,+\infty[\), avec \[ f(2)=1. \] Donc : \[ \boxed{\min_{\mathbb R}f=1}. \]
Ainsi \(f\) décroît sur \(]-\infty,2]\), puis croît sur \([2,+\infty[\), avec \[ f(2)=1. \] Donc : \[ \boxed{\min_{\mathbb R}f=1}. \]
C. Extremums et études complètes
8
Extremum et exponentielle
Soit
\[
f(x)=e^{-x^2+6x}.
\]
1. Calculer \(f'(x)\).
2. Étudier les variations de \(f\).
3. Déterminer son extremum sur \(\mathbb R\).
2. Étudier les variations de \(f\).
3. Déterminer son extremum sur \(\mathbb R\).
Afficher la correction
On a :
\[
f'(x)=(-2x+6)e^{-x^2+6x}
=2(3-x)e^{-x^2+6x}.
\]
L'exponentielle est strictement positive, donc \(f'(x)\) a le signe de \(3-x\).
Ainsi \(f\) est croissante sur \(]-\infty,3]\), puis décroissante sur \([3,+\infty[\). Elle admet donc un maximum en \(x=3\) : \[ f(3)=e^{-9+18}=e^9. \] Donc : \[ \boxed{\max_{\mathbb R}f=e^9}. \]
Ainsi \(f\) est croissante sur \(]-\infty,3]\), puis décroissante sur \([3,+\infty[\). Elle admet donc un maximum en \(x=3\) : \[ f(3)=e^{-9+18}=e^9. \] Donc : \[ \boxed{\max_{\mathbb R}f=e^9}. \]
9
Étude complète
Soit
\[
f(x)=x\,e^{-x}.
\]
1. Calculer \(f'(x)\).
2. Étudier le signe de \(f'(x)\).
3. En déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).
4. Déterminer l'extremum de \(f\).
2. Étudier le signe de \(f'(x)\).
3. En déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).
4. Déterminer l'extremum de \(f\).
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Par produit :
\[
f'(x)=e^{-x}+x(-e^{-x})
=(1-x)e^{-x}.
\]
Comme \(e^{-x}>0\), \(f'(x)\) a le signe de \(1-x\). Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty,1]\), puis décroissante sur \([1,+\infty[\).
En \(x=1\), \[ f(1)=e^{-1}=\frac1e. \] Ainsi \(f\) admet un maximum égal à \[ \boxed{\frac1e}. \]
En \(x=1\), \[ f(1)=e^{-1}=\frac1e. \] Ainsi \(f\) admet un maximum égal à \[ \boxed{\frac1e}. \]
10
Dérivée et limites
Soit
\[
f(x)=(x+1)e^{-x}.
\]
1. Déterminer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
2. Calculer \(f'(x)\).
3. Étudier les variations de \(f\) sur \([0,+\infty[\).
2. Calculer \(f'(x)\).
3. Étudier les variations de \(f\) sur \([0,+\infty[\).
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1. On utilise la croissance comparée : \(xe^{-x}\to0\) et \(e^{-x}\to0\). Donc
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(x+1)e^{-x}=0}.
\]
2. Par produit :
\[
f'(x)=e^{-x}-(x+1)e^{-x}=-xe^{-x}.
\]
3. Sur \([0,+\infty[\), \(x\ge0\) et \(e^{-x}>0\), donc \(f'(x)\le0\). Ainsi \(f\) est décroissante sur \([0,+\infty[\). De plus :
\[
f(0)=1,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0.
\]
D. Exercice bilan
11
Exercice bilan
Soit
\[
f(x)=(x^2+1)e^{-x}.
\]
1. Déterminer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
2. Calculer \(f'(x)\) et montrer que \[ f'(x)=-(x-1)^2e^{-x}. \] 3. Étudier le signe de \(f'(x)\).
4. En déduire les variations de \(f\) sur \([0,+\infty[\).
5. Que peut-on dire du point d'abscisse \(1\) ?
2. Calculer \(f'(x)\) et montrer que \[ f'(x)=-(x-1)^2e^{-x}. \] 3. Étudier le signe de \(f'(x)\).
4. En déduire les variations de \(f\) sur \([0,+\infty[\).
5. Que peut-on dire du point d'abscisse \(1\) ?
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1. Par croissance comparée,
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(x^2+1)e^{-x}=0}.
\]
2. Par produit :
\[
f'(x)=2xe^{-x}-(x^2+1)e^{-x}
=(-x^2+2x-1)e^{-x}.
\]
Or
\[
-x^2+2x-1=-(x-1)^2.
\]
Donc :
\[
\boxed{f'(x)=-(x-1)^2e^{-x}}.
\]
3. Puisque \(e^{-x}>0\) et \(-(x-1)^2\le0\),
\[
f'(x)\le0
\]
avec \(f'(1)=0\).
4. Ainsi \(f\) est décroissante sur \([0,+\infty[\). Elle part de \(f(0)=1\) et tend vers \(0\).
5. La dérivée s'annule en \(1\), mais ne change pas de signe : \(x=1\) ne correspond donc pas à un extremum. La courbe possède une tangente horizontale au point d'abscisse \(1\).
4. Ainsi \(f\) est décroissante sur \([0,+\infty[\). Elle part de \(f(0)=1\) et tend vers \(0\).
5. La dérivée s'annule en \(1\), mais ne change pas de signe : \(x=1\) ne correspond donc pas à un extremum. La courbe possède une tangente horizontale au point d'abscisse \(1\).