TERMINALE • SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES

Formulaire — Variables aléatoires et loi binomiale

Définitions, formules et réflexes indispensables à retrouver en un coup d'œil.

À connaître : les formules ci-dessous couvrent les principaux calculs du chapitre : loi de probabilité, espérance, variance, écart-type, Bernoulli, loi binomiale et probabilités cumulées.

Version imprimable : une fiche A4 synthétique à conserver avec le cours.
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1. Variable aléatoire discrète

Si \(X\) prend les valeurs \(x_1,\ldots,x_r\) avec les probabilités \(p_1,\ldots,p_r\), alors :

\[ \sum_{i=1}^{r}p_i=1 \]

Espérance

\[ E(X)=\sum_{i=1}^{r}p_i x_i \]

Variance

\[ V(X)=\sum_{i=1}^{r}p_i x_i^2-[E(X)]^2 \]

Écart-type

\[ \sigma(X)=\sqrt{V(X)} \]

2. Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli possède deux issues : succès de probabilité \(p\) et échec de probabilité \(1-p\).

Pour la variable \(X\) valant \(1\) en cas de succès et \(0\) sinon :

\[ P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p \]

\[ E(X)=p,\qquad V(X)=p(1-p) \]

3. Schéma de Bernoulli

On répète \(n\) fois, de manière indépendante, la même épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\).

Si \(X\) compte le nombre de succès :

\[ X\sim\mathcal B(n,p) \]

Coefficient binomial

\[ \binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

\(\binom nk\) compte le nombre de façons de placer \(k\) succès parmi \(n\) essais.

4. Loi binomiale

Pour \(X\sim\mathcal B(n,p)\) et \(k\in\{0,\ldots,n\}\) :

\[ P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k} \]

Paramètres

\[ E(X)=np \]

\[ V(X)=np(1-p) \]

\[ \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)} \]

5. Traduire les formulations

Phrase	Événement
Exactement \(k\)	\(X=k\)
Au plus \(k\)	\(X\le k\)
Au moins \(k\)	\(X\ge k\)
Moins de \(k\)	\(X\le k-1\)
Plus de \(k\)	\(X\ge k+1\)
Entre \(a\) et \(b\), inclus	\(a\le X\le b\)

6. Probabilités cumulées

Événement contraire

\[ P(X\ge k)=1-P(X\le k-1) \]

Au moins un succès

\[ P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n \]

Entre deux bornes

\[ P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a-1) \]

Réflexes pour les exercices

1. Définir clairement le succès et la variable \(X\). 2. Vérifier répétition, indépendance et probabilité constante. 3. Écrire \(X\sim\mathcal B(n,p)\). 4. Traduire les mots « exactement », « au plus » ou « au moins » avant de calculer. 5. Penser à l'événement contraire lorsqu'il simplifie le calcul.