EXERCICE DE SYNTHÈSE N° 7 · BAC 2024 · AMÉRIQUE DU NORD

Logarithme, convexité et théorème des valeurs intermédiaires

Une annale pour passer d'une lecture graphique à une démonstration complète : dérivées, courbure, variations et unicité d'une solution.

Terminale spécialité5 points au bac2 parties≈ 45 minutes
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Source : baccalauréat 2024, Amérique du Nord, jour 1, exercice 3 (5 points). L'énoncé ci-dessous conserve les données et les objectifs mathématiques du sujet officiel, avec une formulation adaptée et un graphique redessiné.

Il faut justifier les résultats de la partie B, y compris ceux conjecturés dans la partie A. Voir le sujet original en PDF ↗

Partie A — Conjecturer à partir d'un graphique

Nombre dérivé, tangente et changement de convexité.

Dans tout l'exercice, on étudie la fonction définie sur \(]0; +\infty[\) par

\[\boxed{f(x)=x\ln(x^2)-\frac1x}\]

On a représenté la courbe \(\mathcal C_f\) ainsi que sa tangente \(T\) au point \(A(1;-1)\). La droite \(T\) passe aussi par \(B(0;-4)\).

Courbe de la fonction et tangente en A Dans un repère, courbe croissante de la fonction x logarithme de x au carré moins un sur x, concave puis convexe. La tangente T au point A(1; −1) passe par B(0; −4). 0 1 2 3 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y A B 𝒞f T
Figure redessinée pour Mission Maths — courbe de la fonction, tangente T et points A et B.
1Interpréter la tangente

Déterminer à partir du graphique la valeur de \(f'(1)\), puis établir une équation de la droite \(T\).

2Observer la courbure

Sur quels intervalles la courbe suggère-t-elle que \(f\) est concave ou convexe ? Quel rôle paraît jouer le point \(A\) ?

Afficher le corrigé de la partie A

1. Nombre dérivé et tangente

La droite passe par \(A(1;-1)\) et \(B(0;-4)\). Son coefficient directeur est

\[m=\frac{-1-(-4)}{1-0}=3.\]

C'est le nombre dérivé au point d'abscisse 1 : \(f'(1)=3\). En utilisant \(A\), on obtient

\[y+1=3(x-1),\qquad \boxed{T:\;y=3x-4}.\]

2. Conjecture de convexité

La courbe semble concave sur \(]0;1[\), puis convexe sur \(]1;+\infty[\). Elle semble changer de convexité en \(A(1;-1)\) : c'est un point d'inflexion, ce que l'on démontrera dans la partie B.

Partie B — Justifier par le calcul

Limites, dérivées, convexité et solution unique d'une équation.

Dans toute cette partie, \(x>0\) et

\[f(x)=x\ln(x^2)-\frac1x.\]
1Limites

Calculer les limites de \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures, puis lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

2Dérivées
  1. Calculer \(f'(x)\).
  2. Vérifier que, pour tout \(x>0\),
\[\boxed{f''(x)=\frac{2(x+1)(x-1)}{x^3}}.\]
3Convexité et variations
  1. Déterminer les intervalles de convexité et de concavité de \(f\), puis préciser si \(A\) est un point d'inflexion.
  2. Étudier les variations de \(f'\), en déduire son signe sur \(]0;+\infty[\), puis dresser le tableau de variations de \(f\).
4Unicité d'une solution
  1. Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une seule solution \(\alpha\) dans \(]0;+\infty[\).
  2. Donner \(\alpha\) au centième près, puis établir l'identité suivante :
\[\boxed{\alpha^2=\exp\!\left(\frac1{\alpha^2}\right)}.\]
Afficher le corrigé détaillé de la partie B

1. Limites

Pour \(x>0\), on peut écrire \(\ln(x^2)=2\ln x\). Ainsi,

\[f(x)=2x\ln x-\frac1x.\]

Lorsque \(x\to0^+\), on sait que \(x\ln x\to0\), tandis que \(-1/x\to-\infty\). Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(2x\ln x\to+\infty\) et \(-1/x\to0\).

\[\boxed{\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty}\qquad\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}.\]

2. Dérivées

En dérivant \(2x\ln x-1/x\), on obtient

\[\boxed{f'(x)=2\ln x+2+\frac1{x^2}}.\]

Une nouvelle dérivation donne

\[f''(x)=\frac2x-\frac2{x^3}=\frac{2(x^2-1)}{x^3}=\boxed{\frac{2(x-1)(x+1)}{x^3}}.\]

3. Convexité et variations

Pour \(x>0\), les facteurs \(x+1\) et \(x^3\) sont strictement positifs. Le signe de \(f''(x)\) est donc celui de \(x-1\) :

  • \(f''(x)<0\) sur \(]0;1[\) : \(f\) est concave ;
  • \(f''(1)=0\) ;
  • \(f''(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\) : \(f\) est convexe.

Le signe change en 1 : le point \(A(1;f(1))=(1;-1)\) est donc bien un point d'inflexion.

Comme \(f''\) est la dérivée de \(f'\), la fonction \(f'\) décroît sur \(]0;1]\), puis croît sur \([1;+\infty[\). Elle atteint son minimum en 1 :

\[f'(1)=2\ln1+2+1=3.\]

Aux bornes, \(f'(x)\to+\infty\) quand \(x\to+\infty\). Quand \(x\to0^+\), le terme \(1/x^2\) domine en valeur absolue \(2\ln x\), donc \(f'(x)\to+\infty\) également.

x 0 1 +∞ f''(x) −0+ f'(x) +∞3+∞
Pour tout \(x>0\), on a \(f'(x)\ge 3>0\). La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).

En tenant compte des limites établies à la question 1 et de \(f(1)=-1\), on obtient :

x 0 1 +∞ f'(x) +++ f(x) −∞−1+∞

4. TVI, unicité et identité exponentielle

La fonction \(f\) est continue sur \(]0;+\infty[\) puisqu'elle est construite à partir de fonctions continues sur cet intervalle. De plus, elle est strictement croissante et ses limites sont \(-\infty\) et \(+\infty\). Le théorème des valeurs intermédiaires, combiné à la stricte monotonie, assure donc l'existence d'une unique solution \(\alpha\) à \(f(x)=0\).

Pour la localiser, on calcule :

\[f(1{,}32)\approx -0{,}0246<0,\qquad f(1{,}33)\approx0{,}0067>0.\]

Donc \(1{,}32<\alpha<1{,}33\). Un calcul plus précis donne

\[\alpha\approx1{,}327864\qquad\Rightarrow\qquad\boxed{\alpha\approx1{,}33\text{ au centième}}.\]

Enfin, \(f(\alpha)=0\) signifie

\[2\alpha\ln\alpha-\frac1\alpha=0\quad\Longrightarrow\quad 2\alpha^2\ln\alpha=1.\]

Donc \(2\ln\alpha=1/\alpha^2\). Or \(2\ln\alpha=\ln(\alpha^2)\) puisque \(\alpha>0\). En passant à l'exponentielle, on conclut :

\[\boxed{\alpha^2=\exp\!\left(\frac1{\alpha^2}\right)}.\]
Réflexe bac : pour établir le signe de \(f'\), il est souvent plus efficace d'exploiter les variations de \(f'\) à partir de \(f''\) que de chercher à résoudre directement \(f'(x)=0\).