Terminale spécialité mathématiques • Combinatoire et dénombrement

Exercice de synthèse 5 — Livres sur une étagère

Permutations, blocs, contraintes de voisinage, ordre relatif et méthode des intervalles.

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Objectif. On étudie différents rangements de livres distincts en faisant varier les contraintes. Chaque question demande d’identifier précisément ce qui est choisi, puis ce qui est ordonné.

Énoncé

On range 12 livres distincts dont 5 de mathématiques, 4 de sciences et 3 de littérature.

M1
S1
M2
L1
S2
M3
L2
S3
M4
S4
L3
M5
5 livres de mathématiques 4 livres de sciences 3 livres de littérature
  1. Dénombrer tous les rangements possibles des 12 livres.
  2. Dénombrer les rangements dans lesquels les 5 livres de mathématiques sont consécutifs.
  3. Dénombrer les rangements dans lesquels deux livres de mathématiques ne sont jamais voisins.
  4. Dénombrer les rangements dans lesquels les trois catégories forment chacune un bloc.
  5. Deux livres précis doivent être placés aux deux extrémités de l’étagère. Dénombrer les rangements possibles.
  6. On impose l’ordre relatif de quatre livres précis. Dénombrer les rangements possibles.
  7. On choisit 8 livres parmi les 12, puis on les range, avec exactement 3 livres de mathématiques. Dénombrer les possibilités.
  8. Généraliser la méthode des intervalles utilisée pour empêcher des objets d’une même catégorie d’être voisins.

Compétences travaillées

Principe multiplicatif Permutations Méthode des blocs Méthode des intervalles Contraintes de voisinage Combinaisons Ordre relatif Généralisation

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