A
Polynômes du second degré
On considère les polynômes du second degré
\[
P(x)=ax^2+bx+c,
\]
avec \(a\neq0\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des chiffres, donc des entiers compris entre 0 et 9.
- Combien de polynômes peut-on former si l’on souhaite que les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) soient des chiffres ?
- Parmi les polynômes précédents, combien admettent \(0\) comme racine ?
- Combien de polynômes admettent \(-1\) comme racine ?
- Question supplémentaire. Combien de polynômes admettent \(1\) comme racine ?
- Question supplémentaire. Combien de polynômes admettent simultanément \(0\) et \(1\) comme racines ?
- Question supplémentaire. Combien de polynômes possèdent une racine double, c’est-à-dire vérifient \(\Delta=0\) ?
B
Polynômes du troisième degré
On considère maintenant les polynômes du troisième degré
\[
Q(x)=ax^3+bx^2+cx+d,
\]
avec \(a\neq0\), où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des chiffres.
- Combien de polynômes peut-on former ?
- Combien de ces polynômes admettent \(0\) comme racine ?
- Combien de ces polynômes admettent \(-1\) comme racine ?
- Combien de ces polynômes admettent \(1\) comme racine ?
- Combien de polynômes admettent simultanément \(0\) et \(1\) comme racines ?
- Combien de polynômes admettent simultanément \(0\), \(1\) et \(-1\) comme racines ?
- Combien de polynômes admettent \(0\) comme racine double ?
- Combien de polynômes admettent \(0\) comme racine double et \(-1\) comme racine simple ?
Rappels utiles
• Les coefficients sont des chiffres : \(0,1,2,\ldots,9\).
• Le coefficient \(a\) du terme de plus haut degré est non nul.
• \(r\) est racine de \(P\) si et seulement si \(P(r)=0\).
• Pour le degré 2 : \(\Delta=b^2-4ac\).
Compétences travaillées
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