Terminale spécialité mathématiques • Combinatoire et dénombrement

Exercice de synthèse 8 — Répartition d’objets dans des boîtes

Choix indépendants, contraintes de répartition, complémentaire et inclusion-exclusion.

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Objectif. On étudie différentes façons de répartir des objets distincts dans des boîtes distinctes. Les contraintes imposées conduisent à adapter la stratégie de dénombrement.

Énoncé

On répartit 10 objets distincts dans 4 boîtes distinctes.

12345 678910
↓
Boîte 1
Boîte 2
Boîte 3
Boîte 4

Les objets et les boîtes sont tous distinguables.

  1. Dénombrer les répartitions lorsque les boîtes peuvent éventuellement être vides.
  2. Dénombrer les répartitions dans lesquelles aucune boîte n’est vide.
  3. Dénombrer les répartitions dans lesquelles exactement une boîte est vide.
  4. Dénombrer les répartitions dans lesquelles la première boîte contient exactement 3 objets.
  5. Deux objets précis doivent être placés ensemble dans une même boîte. Dénombrer les répartitions possibles.
  6. Deux objets précis doivent être placés dans des boîtes différentes. Dénombrer les répartitions possibles.
  7. Dénombrer les répartitions dans lesquelles chaque boîte contient au moins deux objets, lorsque cela est possible.
  8. Généraliser la méthode en utilisant le principe d’inclusion-exclusion.

Compétences travaillées

Principe multiplicatif Choix indépendants Complémentaire Inclusion-exclusion Combinaisons Contraintes de répartition Cas disjoints Généralisation

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