Objectif : mobiliser dans un même problème les limites en un réel, les limites à l'infini, les asymptotes et l'étude de la position relative d'une courbe.
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Le problème
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\setminus\{2\}\) par
\[ f(x)=\frac{2x^2-3x+3}{x^2-4}. \]On note \(\mathcal C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
- Déterminer les limites de \(f\) lorsque \(x\to2^-\) et lorsque \(x\to2^+\). En déduire une conséquence graphique.
- Déterminer les limites de \(f\) lorsque \(x\to-2^-\) et lorsque \(x\to-2^+\). En déduire une conséquence graphique.
- Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). En déduire une nouvelle asymptote à \(\mathcal C_f\).
- Montrer que, pour tout \(x\neq-2\) et \(x\neq2\), \[ f(x)-2=\frac{-3x+11}{x^2-4}. \]
- Étudier le signe de \(f(x)-2\).
- En déduire la position de \(\mathcal C_f\) par rapport à son asymptote horizontale.
- Déterminer les coordonnées du point d'intersection de \(\mathcal C_f\) avec cette asymptote.
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1. Au voisinage de \(2\)
Le numérateur tend vers \[ 2\times2^2-3\times2+3=5>0. \] Le dénominateur s'écrit \[ x^2-4=(x-2)(x+2). \] Au voisinage de \(2\), \(x+2>0\). Le signe du dénominateur est donc celui de \(x-2\). Ainsi : \[ \boxed{\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty}. \] La droite \[ \boxed{x=2} \] est une asymptote verticale à \(\mathcal C_f\).
Le numérateur tend vers \[ 2\times2^2-3\times2+3=5>0. \] Le dénominateur s'écrit \[ x^2-4=(x-2)(x+2). \] Au voisinage de \(2\), \(x+2>0\). Le signe du dénominateur est donc celui de \(x-2\). Ainsi : \[ \boxed{\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty}. \] La droite \[ \boxed{x=2} \] est une asymptote verticale à \(\mathcal C_f\).
2. Au voisinage de \(-2\)
Le numérateur tend vers \[ 2(-2)^2-3(-2)+3=17>0. \] Au voisinage de \(-2\), \(x-2<0\).
Si \(x\to-2^-\), alors \(x+2\to0^-\), donc \((x-2)(x+2)\to0^+\). Ainsi : \[ \boxed{\lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty}. \] Si \(x\to-2^+\), alors \(x+2\to0^+\), donc \((x-2)(x+2)\to0^-\). Ainsi : \[ \boxed{\lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty}. \] La droite \[ \boxed{x=-2} \] est une asymptote verticale à \(\mathcal C_f\).
Le numérateur tend vers \[ 2(-2)^2-3(-2)+3=17>0. \] Au voisinage de \(-2\), \(x-2<0\).
Si \(x\to-2^-\), alors \(x+2\to0^-\), donc \((x-2)(x+2)\to0^+\). Ainsi : \[ \boxed{\lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty}. \] Si \(x\to-2^+\), alors \(x+2\to0^+\), donc \((x-2)(x+2)\to0^-\). Ainsi : \[ \boxed{\lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty}. \] La droite \[ \boxed{x=-2} \] est une asymptote verticale à \(\mathcal C_f\).
3. À l'infini
Le numérateur et le dénominateur sont deux polynômes de degré \(2\). À l'infini, le quotient a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré : \[ \frac{2x^2}{x^2}=2. \] Donc : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=2} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=2}. \] La droite \[ \boxed{y=2} \] est une asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\).
Le numérateur et le dénominateur sont deux polynômes de degré \(2\). À l'infini, le quotient a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré : \[ \frac{2x^2}{x^2}=2. \] Donc : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=2} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=2}. \] La droite \[ \boxed{y=2} \] est une asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\).
4. Comparaison avec l'asymptote horizontale
\[
f(x)-2
=\frac{2x^2-3x+3}{x^2-4}-2
=\frac{2x^2-3x+3-2(x^2-4)}{x^2-4}.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{f(x)-2=\frac{-3x+11}{x^2-4}}.
\]
5. Signe de \(f(x)-2\)
Le numérateur \(-3x+11\) s'annule pour \[ x=\frac{11}{3}. \] Le dénominateur \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) est positif sur \[ ]-\infty,-2[\ \cup\ ]2,+\infty[ \] et négatif sur \[ ]-2,2[. \] On en déduit : \[ f(x)-2>0\quad\text{sur}\quad]-\infty,-2[\ \cup\ ]2,\tfrac{11}{3}[ \] et \[ f(x)-2<0\quad\text{sur}\quad]-2,2[\ \cup\ ]\tfrac{11}{3},+\infty[. \] Enfin, \[ f\left(\frac{11}{3}\right)-2=0. \]
Le numérateur \(-3x+11\) s'annule pour \[ x=\frac{11}{3}. \] Le dénominateur \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) est positif sur \[ ]-\infty,-2[\ \cup\ ]2,+\infty[ \] et négatif sur \[ ]-2,2[. \] On en déduit : \[ f(x)-2>0\quad\text{sur}\quad]-\infty,-2[\ \cup\ ]2,\tfrac{11}{3}[ \] et \[ f(x)-2<0\quad\text{sur}\quad]-2,2[\ \cup\ ]\tfrac{11}{3},+\infty[. \] Enfin, \[ f\left(\frac{11}{3}\right)-2=0. \]
6. Position relative
La courbe \(\mathcal C_f\) est donc au-dessus de l'asymptote \(y=2\) lorsque \[ x\in]-\infty,-2[\ \cup\ ]2,\tfrac{11}{3}[ \] et au-dessous lorsque \[ x\in]-2,2[\ \cup\ ]\tfrac{11}{3},+\infty[. \]
La courbe \(\mathcal C_f\) est donc au-dessus de l'asymptote \(y=2\) lorsque \[ x\in]-\infty,-2[\ \cup\ ]2,\tfrac{11}{3}[ \] et au-dessous lorsque \[ x\in]-2,2[\ \cup\ ]\tfrac{11}{3},+\infty[. \]
7. Intersection avec l'asymptote
La courbe rencontre \(y=2\) lorsque \[ f(x)-2=0, \] c'est-à-dire pour \[ x=\frac{11}{3}. \] Le point d'intersection est donc \[ \boxed{A\left(\frac{11}{3};2\right)}. \]
La courbe rencontre \(y=2\) lorsque \[ f(x)-2=0, \] c'est-à-dire pour \[ x=\frac{11}{3}. \] Le point d'intersection est donc \[ \boxed{A\left(\frac{11}{3};2\right)}. \]