On considère la suite (un) définie par
u0 = 12
et, pour tout entier naturel n,
un+1 = 3un1 + 2un.
1.
a) Calculer u1 et u2.
b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 < un.
2. On admet que, pour tout entier naturel n, un < 1.
a) Démontrer que la suite (un) est croissante.
b) Démontrer que la suite (un) converge.
3. Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par :
vn = un1 − un.
a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 3.
b) Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n,
un = 3n3n + 1.
d) Déterminer la limite de la suite (un).
Compétences mobilisées : suite définie par récurrence, raisonnement par récurrence, étude du sens de variation, convergence d’une suite monotone et bornée, changement de suite, suite géométrique, expression explicite et limite.