On considère la suite (un) définie par u0 = 8 et, pour tout entier naturel n,
un+1 = 6un + 2un + 5.
1. Calculer u1.
2. Soit f définie sur [0 ; +∞[ par
f(x) = 6x + 2x + 5.
Ainsi, un+1 = f(un).a. Démontrer que f est strictement croissante sur [0 ; +∞[. En déduire que, pour tout réel x > 2, f(x) > 2.
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un > 2.
3. On admet que, pour tout entier naturel n,
un+1 − un = (2 − un)(un + 1)un + 5.
a. Démontrer que la suite (un) est décroissante.
b. En déduire qu’elle est convergente.
4. On définit (vn) par
vn = un − 2un + 1.
a. Calculer v0.
b. Démontrer que (vn) est géométrique de raison 47.
c. Déterminer, en justifiant, la limite de (vn). En déduire celle de (un).
5. On considère la fonction Python suivante, où A est un réel strictement supérieur à 2.
def seuil(A):
n = 0
u = 8
while u > A:
u = (6*u + 2)/(u + 5)
n = n + 1
return n
Donner, sans justification, la valeur renvoyée par seuil(2.001), puis interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
Compétences mobilisées : suite définie par récurrence, fonction homographique, dérivation, récurrence, monotonie, convergence, changement de suite, suite géométrique, limites et Python.