Soit k un nombre réel.
On considère la suite (un) définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par :
un+1 = k un(1 − un).
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. On étudie deux situations correspondant à deux valeurs différentes de k.
Partie 1
Dans cette partie, k = 1,9 et u0 = 0,1. Ainsi, pour tout entier naturel n :
un+1 = 1,9un(1 − un).
1. On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par f(x) = 1,9x(1 − x).
a. Étudier les variations de f sur l’intervalle [0 ; 1].
b. En déduire que, si x ∈ [0 ; 1], alors f(x) ∈ [0 ; 1].
2. La figure ci-dessous représente les premiers termes de la suite (un), construits à partir de la courbe 𝒞f de la fonction f et de la droite D d’équation y = x. Conjecturer le sens de variation de la suite (un) ainsi que sa limite éventuelle.
3.
a. En utilisant les résultats de la question 1, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :
0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 1/2.
b. En déduire que la suite (un) converge.
c. Déterminer sa limite.
Partie 2
Dans cette partie, k = 1/2 et u0 = 1/4. Ainsi, pour tout entier naturel n :
un+1 = 1/2 un(1 − un).
On admet que, pour tout entier naturel n :
0 ≤ un ≤ (1/2)n.
1. Démontrer que la suite (un) converge et déterminer sa limite.
2. On considère la fonction Python
algo(p), où p désigne un entier naturel non nul :def algo(p):
u = 1/4
n = 0
while u > 10**(-p):
u = 1/2*u*(1-u)
n = n+1
return(n)
Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel non nul p, la boucle
while ne tourne pas indéfiniment, ce qui permet à la commande algo(p) de renvoyer une valeur.
Compétences mobilisées : fonctions et variations, suites récurrentes, représentation graphique, raisonnement par récurrence, convergence, limites, comparaison et programmation Python.