Partie A
Soit (un) la suite définie par u0 = 30 et, pour tout entier naturel n,
un+1 = 12un + 10.
Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par :
vn = un − 20.
1. Calculer les valeurs exactes de u1 et u2.
2. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 1/2.
3. Exprimer vn en fonction de n pour tout entier naturel n.
4. En déduire que, pour tout entier naturel n,
un = 20 + 10 × (1/2)n.
5. Déterminer la limite de la suite (un). Justifier la réponse.
Partie B
Soit (wn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par :
w0 = 45
wn+1 = ½wn + ½un + 7
1. Montrer que w1 = 44,5.
2. On souhaite écrire une fonction
suite, en langage Python, qui renvoie la valeur du terme wn pour une valeur de n donnée. On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction.def suite(n):
U = 30
W = 45
for i in range(1,n+1):
U = U/2 + 10
W = W/2 + U/2 + 7
return W
L’exécution de suite(1) ne renvoie pas le terme w1. Comment modifier la fonction suite afin que l’exécution de suite(n) renvoie la valeur du terme wn ?
3.
a. Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier naturel n, on a :
wn = 10n(1/2)n + 11(1/2)n + 34.
b. On admet que, pour tout entier naturel n ≥ 4, on a :
0 ≤ 10n(1/2)n ≤ 10/n.
Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (wn) ?Compétences mobilisées : suites arithmético-géométriques, suite auxiliaire géométrique, expression explicite, limites, suites couplées, programmation Python, raisonnement par récurrence et théorème d’encadrement.