On s’intéresse au développement d’une bactérie. On modélise son développement avec les hypothèses suivantes : cette bactérie a une probabilité 0,3 de mourir sans descendance et une probabilité 0,7 de se diviser en deux bactéries filles.
Dans le cadre de cette expérience, on admet que les lois de reproduction des bactéries sont les mêmes pour toutes les générations de bactéries, qu’elles soient mère ou fille.
Pour tout entier naturel n, on appelle pn la probabilité d’obtenir au plus n descendances pour une bactérie.
On admet que, d’après ce modèle, la suite (pn) est définie par :
p0 = 0,3
et
pn+1 = 0,3 + 0,7pn2.
1.
a) Déterminer les valeurs exactes de p1 et p2 et interpréter ces valeurs dans le contexte de l’énoncé.
b) Quelle est la probabilité, arrondie à 10−3 près, d’obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d’une bactérie de ce type ? Justifier.
c) Formuler des conjectures, en se justifiant, sur les variations et la convergence de la suite (pn).
Pour les questions 1 b) et 1 c), on pourra utiliser un tableau de valeurs ou un programme Python de la calculatrice pour se justifier.
2.
a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :
0 ≤ pn ≤ pn+1 ≤ 0,5.
b) En déduire que la suite (pn) est convergente.
3. On appelle ℓ la limite de la suite (pn).
a) Justifier que ℓ est solution de l’équation :
0,7ℓ2 − ℓ + 0,3 = 0.
b) Déterminer alors la limite de la suite (pn).
4. La fonction écrite en Python ci-dessous a pour objectif de renvoyer les n premiers termes de la suite (pn).
def suite(n):
p = ...
L = [p]
for i in range(...):
p = ...
L.append(p)
return L
a) Que fait l’opérateur
.append sur la liste L ?b) Recopier cette fonction en complétant les lignes 2, 4 et 5 de façon à ce que la fonction
suite(n) retourne, sous forme de liste, les n premiers termes de la suite.
Compétences mobilisées : probabilités, suites définies par récurrence, calcul de termes,
expérimentation numérique, raisonnement par récurrence, monotonie, majoration, convergence,
équation du second degré, limite et programmation Python.