Une pizza deux fois plus large contient-elle deux fois plus à manger ?

1. Deux pizzas, une question

Une pizza de 20 cm de diamètre et une pizza de 40 cm de diamètre : la seconde est deux fois plus large. Si leur épaisseur et leurs garnitures par unité de surface sont comparables, est-elle deux fois plus copieuse ?

La réponse est non. Pour un disque de rayon \(r\), l'aire vaut \(\pi r^2\). Quand on double le diamètre, on double également le rayon, et l'aire est multipliée par quatre.

2. Vérifier par les calculs

Pour la petite pizza, le rayon est de 10 cm ; pour la grande, il est de 20 cm. D'où :

\[A_{20}=100\pi\approx314{,}16\text{ cm}^2,\qquad A_{40}=400\pi\approx1256{,}64\text{ cm}^2.\]

Le rapport \(A_{40}/A_{20}\) vaut exactement 4. Ce résultat est indépendant de \(\pi\) : il repose sur le carré du rapport des diamètres.

Pour comparer des offres, on pourrait calculer le prix pour 100 cm². Avec des prix fictifs de 7 € et de 15 €, on obtient environ 2,23 € pour 100 cm² dans le premier cas, contre 1,19 € dans le second. Bien entendu, taille et valeur gustative ne sont pas la même chose !

3. Change le diamètre

Petit diamètre, grande différence

Compare toujours une pizza de 20 cm à une pizza dont tu choisis le diamètre.

Diamètre de la seconde pizza

4. Une loi générale

\[\frac{A_2}{A_1}=\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2.\]

Cette idée sert bien au-delà de la cuisine : diamètre des assiettes, quantité de peinture pour une surface circulaire, surface de bassins, et même changement d'échelle des maquettes.

À toi de jouer

Une pizza de 30 cm de diamètre a-t-elle 50 % de surface de plus qu'une pizza de 20 cm ?

Voir la réponse

Non : le rapport des diamètres vaut \(30/20=1{,}5\), et celui des aires \(1{,}5^2=2{,}25\). La surface augmente de 125 %.