Objectif : mobiliser dans un même problème les principales notions sur les variables aléatoires discrètes et interpréter les paramètres obtenus.
Un jeu de dés
On lance deux dés équilibrés à six faces, numérotées de 1 à 6. Les \(36\) couples de résultats sont équiprobables.
Le gain brut \(X\), en euros, est défini de la façon suivante :
- si la somme des deux dés vaut \(7\), le joueur gagne \(10\) € ;
- si la somme vaut \(6\) ou \(8\), le joueur gagne \(4\) € ;
- dans tous les autres cas, il perd \(2\) €.
Partie A — Étude du gain brut
- Déterminer le nombre de couples donnant une somme égale à \(7\).
- Déterminer le nombre de couples donnant une somme égale à \(6\) ou \(8\).
- En déduire la loi de probabilité de \(X\).
- Calculer \(P(X>0)\).
- Calculer l'espérance \(E(X)\) et interpréter le résultat.
- Calculer \(V(X)\), puis l'écart-type \(\sigma(X)\). Arrondir \(\sigma(X)\) au centième.
Partie B — Prix de participation
L'organisateur décide maintenant de faire payer un prix d'entrée de \(a\) euros. Le gain algébrique réel du joueur devient :
\[ G=X-a. \]- Exprimer \(E(G)\) en fonction de \(a\).
- Déterminer le prix \(a\) pour lequel le jeu est équitable.
- L'organisateur choisit finalement \(a=2\) €. Calculer \(E(G)\) et interpréter son signe.
- Pour \(a=2\), calculer la probabilité que le joueur réalise un gain strictement positif.
À retenir : ajouter ou retrancher une constante modifie l'espérance mais ne modifie pas la variance :
\[
E(X-a)=E(X)-a
\qquad\text{et}\qquad
V(X-a)=V(X).
\]
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Partie A
1. Les couples donnant une somme égale à \(7\) sont \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\), soit \(6\) couples. Ainsi :
\[ P(X=10)=\frac6{36}=\frac16. \]2. Il y a \(5\) couples de somme \(6\) et \(5\) couples de somme \(8\), soit \(10\) couples :
\[ P(X=4)=\frac{10}{36}=\frac5{18}. \] Il reste \(36-6-10=20\) couples : \[ P(X=-2)=\frac{20}{36}=\frac59. \]3. La loi de \(X\) est donc :
| \(x_i\) | \(-2\) | \(4\) | \(10\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\frac59\) | \(\frac5{18}\) | \(\frac16\) |
4.
\[ P(X>0)=P(X=4)+P(X=10) =\frac5{18}+\frac16 =\boxed{\frac49}. \]5.
\[ E(X)=(-2)\frac59+4\frac5{18}+10\frac16 =\boxed{\frac53}\approx1{,}67. \] Sur un grand nombre de parties, le gain brut moyen du joueur est d'environ \(1{,}67\) € par partie.6. On calcule d'abord :
\[ E(X^2)=4\frac59+16\frac5{18}+100\frac16=\frac{70}{3}. \] Donc : \[ V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 =\frac{70}{3}-\left(\frac53\right)^2 =\boxed{\frac{185}{9}}\approx20{,}56. \] Ainsi : \[ \sigma(X)=\sqrt{\frac{185}{9}} =\frac{\sqrt{185}}3 \approx\boxed{4{,}53}. \]Partie B
7. Comme \(G=X-a\) :
\[ E(G)=E(X)-a=\boxed{\frac53-a}. \]8. Le jeu est équitable lorsque \(E(G)=0\) :
\[ \frac53-a=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{a=\frac53\text{ €}\approx1{,}67\text{ €}}. \]9. Pour \(a=2\) :
\[ E(G)=\frac53-2=\boxed{-\frac13}\approx-0{,}33. \] L'espérance est négative pour le joueur : sur un grand nombre de parties, il perd en moyenne environ \(0{,}33\) € par partie. Le jeu est donc favorable à l'organisateur.10. Pour \(a=2\), \(G=X-2\). Le gain est strictement positif lorsque \(X=4\) ou \(X=10\). Donc :
\[ P(G>0)=\frac5{18}+\frac16=\boxed{\frac49}\approx0{,}444. \]