EXERCICE DE SYNTHÈSE • 2

Modélisation binomiale : problème complet

Schéma de Bernoulli • Loi binomiale • Probabilités cumulées • Espérance

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Objectif : modéliser une situation par une loi binomiale, calculer des probabilités et interpréter les résultats dans le contexte.
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Une loterie promotionnelle

Dans un jeu promotionnel, chaque ticket acheté a une probabilité de \(0{,}18\) d'être gagnant. On suppose que les résultats des tickets sont indépendants.

Un client achète \(12\) tickets. On note \(X\) le nombre de tickets gagnants.

Partie A — Modéliser et calculer

  1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
  2. Calculer \(P(X=0)\).
  3. Calculer \(P(X=2)\).
  4. Calculer \(P(X\leq3)\).
  5. En déduire \(P(X\geq1)\).
  6. Calculer \(E(X)\) et interpréter le résultat.

Partie B — Interpréter et décider

Le magasin offre un bon d'achat supplémentaire si le client obtient au moins \(4\) tickets gagnants.

  1. Calculer \(P(X\geq4)\).
  2. Un vendeur affirme : « Dans plus de \(90\,\%\) des cas, le client obtient au moins un ticket gagnant. » Cette affirmation est-elle vraie ?
  3. Combien de tickets faudrait-il acheter pour que la probabilité d'obtenir au moins un ticket gagnant soit supérieure à \(0{,}95\), si la probabilité de gain reste égale à \(0{,}18\) ?
  4. Le nombre moyen de tickets gagnants est-il supérieur au seuil de \(4\) tickets ? Justifier.
Rappel utile : pour \(X\sim\mathcal B(n,p)\), \[ P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k} \qquad\text{et}\qquad E(X)=np. \]
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Partie A — Modéliser et calculer

1. Chaque ticket correspond à une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le ticket est gagnant », de probabilité \(p=0{,}18\). Les \(12\) essais sont indépendants. Ainsi :

\[ \boxed{X\sim\mathcal B(12,0{,}18)}. \]

2.

\[ P(X=0)=(0{,}82)^{12}\approx\boxed{0{,}092}. \]

3.

\[ P(X=2)=\binom{12}{2}(0{,}18)^2(0{,}82)^{10} \approx\boxed{0{,}294}. \]

4.

\[ P(X\leq3)\approx\boxed{0{,}845}. \]

5. L'événement « au moins un ticket gagnant » est le contraire de « aucun ticket gagnant » :

\[ P(X\geq1)=1-P(X=0) =1-(0{,}82)^{12} \approx\boxed{0{,}908}. \]

6.

\[ E(X)=np=12\times0{,}18=\boxed{2{,}16}. \] En moyenne, sur un grand nombre de clients achetant \(12\) tickets, on obtient environ \(2{,}16\) tickets gagnants par client.

Partie B — Interpréter et décider

7.

\[ P(X\geq4)=1-P(X\leq3) \approx1-0{,}845 =\boxed{0{,}155}. \]

8. D'après la question 5 :

\[ P(X\geq1)\approx0{,}908. \] Comme \(0{,}908>0{,}90\), l'affirmation du vendeur est vraie.

9. Pour \(n\) tickets, la probabilité de n'avoir aucun ticket gagnant vaut \((0{,}82)^n\). On cherche :

\[ 1-(0{,}82)^n>0{,}95. \] Donc : \[ (0{,}82)^n<0{,}05 \] et, en prenant les logarithmes : \[ n>\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}82)}\approx15{,}10. \] Le plus petit entier convenable est donc : \[ \boxed{n=16}. \] Vérification : \[ 1-(0{,}82)^{15}\approx0{,}949<0{,}95 \] et \[ 1-(0{,}82)^{16}\approx0{,}958>0{,}95. \]

10. Le nombre moyen de tickets gagnants vaut :

\[ E(X)=2{,}16. \] Comme \(2{,}16<4\), le nombre moyen de tickets gagnants n'est pas supérieur au seuil de \(4\) tickets.