1. Une étonnante mosaïque
Un ensemble d’alvéoles doit occuper le moins d’espace perdu possible tout en offrant des compartiments. Dans un modèle de pavage du plan par polygones réguliers identiques, les triangles équilatéraux, les carrés et les hexagones réguliers sont trois possibilités naturelles.
Mais si chaque alvéole doit contenir la même aire, quelle forme demande le moins de paroi ? Comparons trois polygones réguliers ayant chacun une aire de 1 unité².
2. Calculer sans deviner
Pour un polygone régulier à \(n\) côtés de longueur \(s\), l’aire est :
Cette formule vient du découpage du polygone en \(n\) triangles isocèles issus du centre. On en tire :
Pour \(A=1\), on obtient environ 4,56 pour le triangle, 4 pour le carré et 3,72 pour l’hexagone. À aire égale, ce dernier est le plus économe des trois.
3. Un petit comparateur
Trois formes, une même aire
Choisis la forme de l’alvéole idéale. Le dessin privilégie la lisibilité ; la valeur est calculée à aire fixée.
4. Jusqu’où va la démonstration ?
Nous avons comparé trois familles de polygones réguliers. Cela ne prouve pas, à lui seul, qu'aucun pavage irrégulier ne ferait mieux. Le théorème du nid d’abeille, démontré par Thomas Hales, établit précisément la propriété optimale du pavage hexagonal pour des régions planes d’aire égale.
À toi de jouer
Deux carrés identiques, accolés par un côté de longueur 2, nécessitent-ils une longueur totale de paroi égale à 16 ?
Voir la réponse
Référence mathématique : Thomas Hales, The Honeycomb Conjecture.