1. Une forme dans une forme
Un chou romanesco possède de nombreux petits cônes organisés sur des cônes plus grands. On parle d’autosimilarité approximative : une partie rappelle l’ensemble quand on change d’échelle.
À la différence d’une fractale mathématique idéale, une plante ne peut pas répéter un dessin sans fin : il existe une taille minimale, des irrégularités, et la croissance réelle ne suit pas un rapport strictement constant.
2. Une suite géométrique pour changer d’échelle
Construisons un modèle : à chaque nouvelle génération de cônes, la hauteur est multipliée par \(q=0{,}7\). Si la hauteur initiale est \(h_0=10\) cm, la hauteur au niveau \(n\) est :
Par exemple, après trois étapes : \(h_3=10\times0{,}7^3=3{,}43\) cm. Après cinq étapes, on arrive à environ 1,68 cm. Cette diminution peut être décrite par une suite géométrique de raison strictement comprise entre zéro et un.
3. Descendre d’une échelle
Le microscope imaginaire
Combien de fois faut-il réduire la taille dans notre modèle ?
4. Fractale ou objet fractal ?
Une fractale mathématique idéale peut contenir une infinité de niveaux. Une plante, elle, est un objet naturel à aspect fractal, sur un nombre limité d’échelles. L’expression est parlante, mais les deux notions ne doivent pas être confondues.
Les suites permettent ainsi de quantifier ce que l’œil remarque spontanément : le passage d’une taille à une autre.
À toi de jouer
Dans le même modèle, après combien d’étapes la hauteur devient-elle inférieure à la moitié de la hauteur initiale ?
Voir la réponse
À explorer : le flocon de Koch, une véritable construction mathématique itérative.