1. Le problème des allées
Imaginons un potager rectangulaire de 6 m de large et 4 m de long, soit 24 m². Nous voulons créer des planches de culture sur toute la longueur, séparées par des allées de 40 cm de large. Pour les rendre praticables, nous posons, dans notre modèle, qu'une planche ne doit pas dépasser 1,20 m de large.
La question est simple : combien de planches faut-il choisir pour réserver le maximum de surface aux légumes, tout en respectant la contrainte d'accès ?
2. Écrire une formule
Si l'on construit \(n\) planches séparées par \(n-1\) allées, la largeur totale des allées est \(0{,}4(n-1)\). La largeur d'une planche et l'aire cultivée sont donc :
Pour quatre planches, nous avons \(b(4)=1{,}20\) m et \(A(4)=19{,}2\) m². Nous exploitons donc 80 % de la surface, le reste correspondant aux allées.
Trois planches permettraient d'éviter une allée, mais chacune mesurerait environ 1,73 m de large : notre contrainte n'est pas respectée. Cinq planches respectent la largeur maximale, mais nécessitent une allée supplémentaire et diminuent la surface cultivée à 17,6 m².
3. Dessine différentes dispositions
Ton plan de potager
Fais varier le nombre de planches. Le dessin s'adapte et les surfaces sont recalculées.
4. Pourquoi les contraintes comptent-elles ?
La formule de l'aire est décroissante avec le nombre de planches. Sans limite de largeur, l'algorithme choisirait une seule gigantesque planche : absurde pour un jardin qu'on souhaite entretenir. Optimiser, c'est chercher le meilleur résultat parmi les solutions autorisées.
À toi de jouer
Quelle part du potager de 24 m² représentent les trois allées de 40 cm de large et 4 m de long ?